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  • 【Learning】二项式反演

    如果我们有一个这样的式子

    f(n)=i=0ng(i)Cni

    并且我们已经知道了f,我们能否直接求出g呢?答曰:可以。这个东西就叫做二项式反演。结果就是
    g(n)=i=0n(1)niCnif(i)

    怎么证?
    一般证明反演的套路,我们带入一下

    g(n)=i=0n(1)niCnij=0ig(j)Cij

    改变一下枚举顺序
    g(n)=j=0ng(j)i=jn(1)niCniCij

    暴拆之后,我们发现一个式子
    CniCij=CnjCnjni

    替换一下
    g(n)=j=0ng(j)i=jn(1)niCnjCnjni

    g(n)=j=0nCnjg(j)i=jn(1)niCnjni

    后面的东西直接二项式定理
    g(n)=j=0nCnjg(j)(1+1)nj

    仅当nj=0,即n=j(1+1)nj才不为0
    因此
    g(n)=Cnng(n)=g(n)

    证明完毕。
    例题

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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/2016gdgzoi471/p/9476845.html
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