【bzoj3456】城市规划 【FFT/NTT】【多项式求逆】

题目大意：你需要求出n个点的简单(无重边无自环)无向连通图的数目模1004535809。n≤130000$n\le 130000$。
题解：我们令fn$f_n$表示n个点的简单无向图的数目，gn$g_n$表示n个点的简单无向连通图的数目。
易得fn=2C2n$f_n=2^{C_n^2}$，意思是任意两点之间的边都可以取或不取。
同时，fn=∑ni=1Ci−1n−1gifn−i$f_n=\sum _{i=1}^n{C}_{n-1}^{i-1}{g}_i{f}_{n-i}$，意思是枚举点1所在连通块的大小i，从n-1个点里再选i-1个，连边组成一个联通块，剩下n-i个点随意连边。
我们变一下这个式子。
2C2n=∑ni=1Ci−1n−1gi2C2n−i$2^{C_n^2}=\sum _{i=1}^n{C}_{n-1}^{i-1}{g}_i{2}^{C_{n-i}^2}$
=>2C2n=∑ni=1(n−1)!(i−1)!(n−i)!gi2C2n−i$2^{C_n^2}=\sum _{i=1}^n\frac{(n-1)!}{(i-1)!(n-i)!}{g}_i{2}^{C_{n-i}^2}$
=>2C2n=(n−1)!∑ni=1(1(i−1)!gi)(1(n−i)!2C2n−i)$2^{C_n^2}=(n-1)!\sum _{i=1}^n(\frac{1}{(i-1)!}{g}_i)(\frac{1}{(n-i)!}{2}^{C_{n-i}^2})$
=>2C2n(n−1)!=∑ni=1(gi(i−1)!)(2C2n−i(n−i)!)$\frac{2^{C_n^2}}{(n-1)!}=\sum _{i=1}^n(\frac{g_i}{(i-1)!})(\frac{2^{C_{n-i}^2}}{(n-i)!})$
可以发现这是一个卷积的形式。
我们令
A(x)=∑ni=12C2i(i−1)!xi$A(x)=\sum _{i=1}^n\frac{2^{C_i^2}}{(i-1)!}{x}^i$，
B(x)=∑ni=1gi(i−1)!xi$B(x)=\sum _{i=1}^n\frac{g_i}{(i-1)!}{x}^i$
C(x)=∑n−1i=02C2ii!xi$C(x)=\sum _{i=0}^{n-1}\frac{2^{C_i^2}}{i!}{x}^i$
则A(x)≡B(x)×C(x)$A(x)\equiv B(x)\times C(x)$
=>B(x)≡A(x)∗C−1(x)(mod xn+1)$B(x)\equiv A(x)\ast C^{-1}(x)(mod{x}^{n+1})$
因此我们可以通过多项式求逆和多项式乘法得到B。
多项式求逆的关键公式：
A(x)B(x)≡1(mod xn)$A(x)B(x)\equiv 1(mod{x}^n)$
A(x)B(x)−1≡0(mod xn)$A(x)B(x)-1\equiv 0(mod{x}^n)$
(A(x)B(x)−1)2≡0(mod x2n)$(A(x)B(x)-1{)}^2\equiv 0(mod{x}^{2n})$
A(x)(2B(x)−B(x)2A(x))≡1(mod x2n)$A(x)(2B(x)-B(x)2A(x))\equiv 1(mod{x}^{2n})$
最后的答案为B[n]∗(n−1)!$B[n]\ast (n-1)!$。
代码

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=270005;
const ll mod=1004535809;
int n,m,rev[N];
ll jc[N],a[N],b[N],c[N],d[N];
ll fastpow(ll a,ll x){
    a%=mod;
    ll res=1;
    while(x){
        if(x&1){
            res=res*a%mod;
        }
        x>>=1;
        a=a*a%mod;
    }
    return res;
}
ll getinv(ll a){
    return fastpow(a,mod-2);
}
void ntt(ll *a,int n,int dft){
    for(int i=0;i<n;i++){
        rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)*(n>>1));
        if(i<rev[i]){
            swap(a[i],a[rev[i]]);
        }
    }
    for(int i=1;i<n;i<<=1){
        ll wn=fastpow(3,(mod-1)/i/2);
        if(dft==-1){
            wn=getinv(wn);
        }
        for(int j=0;j<n;j+=i<<1){
            ll w=1,x,y;
            for(int k=j;k<j+i;k++,w=w*wn%mod){
                x=a[k];
                y=w*a[k+i]%mod;
                a[k]=(x+y)%mod;
                a[k+i]=(x-y+mod)%mod;
            }
        }
    }
    if(dft==-1){
        ll inv=getinv(n);
        for(int i=0;i<n;i++){
            a[i]=a[i]*inv%mod;
        }
    }
}
int main(){
    scanf("%d",&m);
    jc[0]=1;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        jc[i]=jc[i-1]*i%mod;
    }
    for(n=1;n<=m;n<<=1);
    a[0]=1;
    for(int i=1;i<m;i++){
        a[i]=fastpow(2,1LL*i*(i-1)/2)*getinv(jc[i]);
    }
    b[0]=getinv(a[0]);
    for(int k=2;k<=n;k<<=1){
        for(int i=0;i<k;i++){
            c[i]=a[i];
            if(i<(k>>1)){
                d[i]=b[i];
            }else{
                d[i]=0;
            }
        }
        ntt(c,k<<1,1);
        ntt(d,k<<1,1);
        for(int i=0;i<(k<<1);i++){
            c[i]=(2*d[i]%mod-d[i]*d[i]%mod*c[i]%mod+mod)%mod;
        }
        ntt(c,k<<1,-1);
        ntt(d,k<<1,-1);
        for(int i=0;i<k;i++){
            b[i]=c[i];
        }
    }
    a[0]=0;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        a[i]=fastpow(2,1LL*i*(i-1)/2)*getinv(jc[i-1]);
    }
    ntt(a,n<<1,1);
    ntt(b,n<<1,1);
    for(int i=0;i<(n<<1);i++){
        a[i]=a[i]*b[i]%mod;
    }
    ntt(a,n<<1,-1);
    printf("%lld
",a[m]*jc[m-1]%mod);
    return 0;
}