NYOJ-1013除法表达式

除法表达式

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难度：3

 

描述

    给出一个这样的除法表达式：X1/X2/X3/···/Xk，其中Xi是正整数。除法表达式应当按照从左到右的顺序求和，例如表达式1/2/1/2的值为1/4。但是可以在表达式中嵌入括号以改变计算顺序，例如表达式(1/2)/(1/2)的值为1.

 

输入

首先输入一个N，表示有N组测试数据，
每组数据输入占一行，为一个除法表达式，
输入保证合法。
使表达式的值为整数。k<=10000,Xi<=100000000.

输出

输出YES或NO

样例输入

1
1/2/1/2

样例输出

YES

（1）思路方向分析

不难知道整个表达式最后一定会变成这样的形式：A/B

而A，B都可以表达为这些数中某一部分的乘积。自然就会想到B越小越好，最好是1，这样就可以变成整数了~(￣▽￣)"

经过一些尝试后会发现，X2必然在B中，而其他数都可以在上，这样问题就简单明了了

设 E=(X₁X₃X₄X₅X₆...X_k)/X₂　　只需要判断E是否为整数即可！(ง •_•)ง

（2）方法

方一：

简单粗暴直接算，不会高精度的会溢出，会高精度的打码打到手抽（；´д｀）ゞ

方二：

使用唯一分解定理，把X2拆了，然后看看剩下所有的Xi们能不能贡献出所需的pi对应的次数ai，这个方法很正确，但还可以更优化一点

方三：

没错就是直接约分~！每次把X2除掉与Xi的gcd，这样除k遍后如果X2是1那么E就是整数啦~(●ˇ∀ˇ●)

口以这么写：

bool judge(int *X) {
	X[2] /= gcd(X[2],X[1]);
	for(int i = 3;i <= k;i++) X[2] /= gcd(X[i],X[2]);
	return X[2] == 1;
}

　　这个算法的关键是gcd，而这也是我学习这道题的主要目的。

推荐这个文章，写的真是太好了(´▽`ʃ♡ƪ)，另外下方的评论也请不要错过！！

这个文章给出的最强gcd如下，O(log(max(a, b)))

int superGcd(int a,int b)
{
	if(a==0)return b;
	if(b==0)return a;
	if(!(a&1)&&!(b&1))return superGcd(a>>1,b>>1)<<1;
	else if(!(b&1))return superGcd(a,b>>1);
	else if(!(a&1))return superGcd(a>>1,b);
	else return superGcd(abs(a-b),min(a,b));
}

　　相关证明可以进一步的查看这里

假设有两个数x和y，存在一个最大公约数z=(x,y)，即x和y都有公因数z，
那么x一定能被z整除，y也一定能被z整除，所以x和y的线性组合mx±ny也一定能被z整除。（m和n可取任意整数）

对于辗转相除法来说，思路就是：若x>y，设x/y=n余c，则x能表示成x=ny+c的形式，将ny移到左边就是x-ny=c，由于一般形式的mx±ny能被z整除，

所以等号左边的x-ny（作为mx±ny的一个特例）就能被z整除，即x除y的余数c也能被z整除。

而更相减损术则就是把x/y=n余c变成x-y=c同样都可以被z整除，所以把c与x或y放在一起求gcd都是不变的

我再说一遍，位移大法好啊啊啊啊啊

#include <cstdio>
using namespace std;
int n,X[10005],k;
char w;
int min(int a,int b)
{
	if(a<b)return a;
	else return b;
}
int abs(int a)
{
	if(a<0)return 0-a;
	else return a;
}
int gcd(int a,int b)
{
	if(a==0)return b;
	if(b==0)return a;
	if(!(a&1)&&!(b&1))return gcd(a>>1,b>>1)<<1;
	else if(!(b&1))return gcd(a,b>>1);
	else if(!(a&1))return gcd(a>>1,b);
	else return gcd(abs(a-b),min(a,b));
}
bool judge(int *X) {
	X[2] /= gcd(X[2],X[1]);
	for(int i = 3;i <= k;i++) X[2] /= gcd(X[i],X[2]);
	return X[2] == 1;
}
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	while(n--)
	{
		k=1;
		scanf("%d",&X[1]);
		w=getchar();
		do{
			scanf("%d",&X[++k]);
			w=getchar();
		}while(w=='/');
		if(judge(X))printf("YES
");
		else printf("NO
");
	}
	return 0;
}

　　所以以上为完整呆码~(￣▽￣)"

顺带一提，如果你用欧几里得算法来求gcd，那么递归层数不会超过 4.785lgN+1.6723

我想我接下来就应该弄拓展欧几里得吧。。。

end——2018/3/9