hdu5184

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题目概述

        给出(n)对括号和前面一部分的括号序列,计算剩下的括号可以组成匹配的括号的数量,数据规模(1 leq n leq 10^6),以EOF作为程序的结束,结果可能会很大,所以需要对(10^9+7)取模.

解题思路

        首先考虑合法有效的情况,将(看做+1,将)看做-1,此时前面是一个由部分(组成的序列,现在剩下(a)个(和(b)个),如何排列()使得最后的这(n)个(和)组成的序列的之和等于0.具体的解法的推导可以参考组合数学这本书在推导那个定理是的证明.这里给出一个形象化的解释,任然使用那个格子模型,现在是从((a,b))点出发到达((n,n))点,要求不能越过对角线但是可以接触,将点((a,b))通过坐标变换的方式变到原点((0,0)),然后终点就变为了((n-a,n-b)),问题就转化为(Catalan)数的计算模型了结果就是(C_{n-a+n-b}^{n-a}-C_{n-a+n-b}^{n-a-1}).

注意

        最初我用的是(Lucas)定理来计算组合数取模,(C_n^m\,\%p=C_{lfloor n/p floor} ^{lfloor m /p floor}*C_{n\%p} ^{m\%p} \,\%p),然而忽略了(p)的值非常大,一般(p)的值在(10^5)可以使用,对于这道题,用(Lucas)定理模数是(10^9+7),结果自然是TLE.然后尝试把通过直接计算阶乘取模,通过逆元计算除数取模.因为这里的模数是一个素数,根据费马小定理:

[若p为素数,gcd(a,p)=1,则a^{p-1}equiv 1 (mod p) \ 由逆元定义 axequiv 1 (mod p),所以可以得到 x = a^{p-2}. ]

可以用一个快速幂取模进行计算.前面的(C_{a+b}^a-C_{a+b}^{a-1}=frac{(a+b)!(b+1-a)}{a!(b+1)!}),分子分母分别计算阶乘的值时可以取模,然后计算整个分式取模转化为分子乘以分母的逆取模,分母的逆用费马小定理和快速幂进行计算.

        这道题的其它坑点集中在要处理非法的情况,也就是给出的括号数量和前面的序列,没法构成有效匹配的括号对,比如(n)为奇数时,左右括号数量不相等,一定不匹配;给出的前面的括号序列可能不匹配,或者没有给出的左右括号的数量一个超过(n/2),一个不足等,都要考虑,不然会一直WA.

代码实现

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

const int N = 1e6 + 5;
const int M = 1e9 + 7;

// 快速幂取模
ll fast_exp_mod(ll a, ll b, ll p){
    ll ans = 1;
    while( b  > 0){
        if( b & 1){
            ans = (ans * a) % p;
        }
        b >>= 1;
        a = (a * a) % p;
    }
    return ans;
}

ll F[N] = {0};

void calculate(){
    F[0] = 1;
    for (int i = 1; i < N; i++){
        F[i] = ((F[i - 1] % M) * (i % M)) % M;
    }
}

// 基于递推式计算C(n,m)%p,(p为素数)
ll C(ll n, ll m, ll p){
    ll ans = 1;
    for (ll i = 1; i < m + 1; ++i){
        ll a = n - i + 1;
        ll b = i;
        ll temp = (a * fast_exp_mod(b, p - 2, p)) % p;
        ans = (ans * temp) % p;
        // T[i] = ans;
    }
    return ans;
}

// Lucas定理
ll Lucas(ll n, ll m, ll p){
    if( m == 0){
        return 1;
    }
    return (C(n % p, m % p, p) * Lucas(n / p, m / p, p)) % p;
}


int main(int argc, const char** argv) {
    calculate();
    int n;
    char buf[N];
    while( ~scanf("%d%s", &n, buf) ) {
        int a = 0, b = 0;
        bool flag = true;
        for (int i = 0; buf[i] != ''; i++) {
            if( buf[i] =='(')
                ++a;
            else if( buf[i] ==')'){
                ++b;
                if( b > a){
                    printf("0
");
                    flag = false;
                    break;
                }
            }
        }
        if( flag ){
            if( n & 1 || b > a || n-b-(a-b) < 0){
                printf("%lld
", 0ll);
            }else{
                ll ans = 0;
                a = n / 2 - a;
                b = n / 2 - b;
                if( a < 0 || b < 0){
                    printf("%lld
", 0ll);
                    continue;
                }
                    // ll ans = (Lucas(a + b, a, M) - Lucas(a + b, a - 1, M) + M)% M;
                ans = (((F[a + b] * (b + 1 - a)) % M) * fast_exp_mod((F[a] * F[b + 1]) % M, M - 2, M)) % M;
                printf("%lld
", ans);
            }
        }
    }
    return 0;
}

其它