hdu1028

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hdu1028

题目概述

        求一个整数(N)的可重无序拆分.

解题思路

        稍加变换,原问题等价于方程:

[1e_1+2e_2+3e_3+cdots +ne_n=n,\,(e_i ge 0, i= 1, 2, 3,dots) ]

解的个数,可以看做是将(n)个相同的小球放到(n)个相同的盒子允许空盒的数目.对应的结果就是函数:

[g(x) = (1+x+x^2+x^3+cdots)(1+x^2+x^4+cdots)cdots(1+x^n+x^{2n}+cdots) ]

展开式中(x^n)项的系数.对于(1,x^i,x^{2i},dots)可以理解为使用整数(i,0,1,2,dots)次,得到整数(1,i,2i,dots.)所以展开式中的(x^n)就是(x^{1e_1},x^{2e_2},dots)相乘,使得(x)的指数部分之和是(n.)

注意

        因为这里每一个整数(i)使用的数量都没有限制,所以写的是(1,x^i,x^{2i},dots),假设整数(i)使用的次数只能是奇数,那么整数(i)的展开应该是((x^i+x^{3i}+dots));或者整数(i)的使用次数只能是序列({b_1,b_2,dots})中的,那么(i)的展开应该是((x^{ib_1}+x^{ib_2}+dots).)

        另外注意上面方程前面那个(e_i)前面的的系数(i),(e_i)表示的是使用这个系数多少次,而这个系数表示另外一种约束,可以这样理解,就是使用一个东西必须要使用(i)次,如果上面的方程变为:

[e_1+e_2+e_3+cdots +e_n=n,\,(e_i ge 0, i= 1, 2, 3,dots) ]

那么对应的母函数就是:

[g(x) = (1+x+x^2+x^3+cdots)(1+x^1+x^2+cdots)cdots(1+x^2+x^{2}+cdots) = (1+x+x^2+x^3+cdots)^n. ]

代码实现

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 200;
ll buf[N];
ll temp[N];


void calculate(){
    fill(buf, buf + N, 1);
    fill(temp, temp + N, 0);
    for (int k = 2; k < N; ++k){
        for (int i = 0; i < N; ++i){
            for(int j = 0; i+j < N; j +=k ){
                // temp是当前的k的展开式与上一轮计算的结果.
                temp[i + j] += buf[i];
            }
        }
        // 更新这一轮的结果.
        memcpy(buf, temp, sizeof(ll)*N);
        fill(temp, temp + N, 0);
    }
}

int main(int argc, const char** argv) {
    calculate();
    int n;
    while (~scanf("%d",&n)){
        printf("%lld
", buf[n]);
    }
    return 0;
}

下面通过这个表格给出计算((1+x^1+x^2+x^3+x^4)(1+x^2+x^4))的计算过程:
(表格A(上一轮计算的结果))

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	1	1	1	1	1	1	1	1	1

(表格B(这一轮计算的结果))

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1		1		1		1		1
	1		1		1		1		1
		1		1		1		1
			1		1		1		1
				1		1		1
					1		1		1
						1		1
							1		1
								1
									1

(整理之后是这一轮计算的值(对应程序中的temp))

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	1	2	2	3	3	4	4	5	5

(更新这一轮计算的结果准备计算下一轮(对应程序中的buf))

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	1	2	2	3	3	4	4	5	5

按照上面表格所示的那样,先计算相邻的两项系数作为当前一轮的计算结果,然后在下一轮中座椅一项与下一项进行计算得到下一轮就散的记过,然后更新,这样滚动更新计算,最后的buf中的系数就是整数拆分的结果(这里为了便于识别,没有将表格中空白的0显示的标出).

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