hdu1521

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hdu1521

题目概述

        给出(n)中元素和这些元素的数量,计算选择出(m)件物品的可能的排列的数目,其中((1leq n,m leq 10).)

解题思路

        指数型母函数的概念题,<组合数学>这本书中有一个定理:

[ S={n_1a_1, n_2a_2,dots,n_ka_k},\, (n_i=1,2,3,dots, i=1,2,3,dots,k)\ The \,exponential \,generating \,function \,g^{(e)}(x)\,of \,the \,sequence \,h_0, h_1, h_2, cdots, h_n, cdots, \,is \,given \,by:\ g^{(e)} =f_{n_1}(x)f_{n_2}(x)cdots f_{n_k}(x)\ f_{n_i} = 1+x+frac{x^2}{2!}+cdots+frac{x^{n_i}}{n_i!} \,(i=1,2,cdots,k) ]

很明显这个题就是上面定理的概念题,已知(a_i)和(n_i),计算(m)排列的个数.

        下面的表格给出了一次计算的过程:
下面通过这个表格给出计算((1+frac{x^1}{1!}+frac{x^2}{2!})(1+frac{x^1}{1!}+frac{x^2}{2!}+frac{x^3}{3!}))的计算过程:
(表格A(上一轮计算的结果))

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	(frac{1}{1!})	(frac{1}{2!})

(表格B(这一轮计算的结果))

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	(frac{1}{1!})	(frac{1}{2!})	(frac{1}{3!})
	1	(frac{1}{1!})	(frac{1}{2!})	(frac{1}{3!})
			(frac{1}{2!})	(frac{1}{2!2!})	(frac{1}{2!3!})

(整理之后是这一轮计算的值(对应程序中的temp))

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	2	(frac{3}{2})	(frac{7}{6})	(frac{5}{12})	(frac{1}{12})

(更新这一轮计算的结果准备计算下一轮(对应程序中的buf))

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	2	(frac{3}{2})	(frac{7}{6})	(frac{5}{12})	(frac{1}{12})

代码实现

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 15;
double buf[N];
double temp[N];
ll F[N];
ll nums[N] = {2,3,1};

void calculate(int n = 3){
    fill(buf, buf + N, 0);
    for (int i = 0;i <= nums[0];i++){
        buf[i] = 1.0 / F[i];
    }
    // for (int i = 0; i < N; ++i){
    //     printf("%.1f ", buf[i]);
    // }
    // printf("
");
    fill(temp, temp + N, 0);
    ll sum = nums[0];
    for (int k = 1; k < n; ++k){
        for (int i = 0; i <= sum; ++i){
            for(int j = 0; j <= nums[k]; j++){
                temp[i + j] += buf[i]/F[j];
            }
        }
        // for (int i = 0; i < N; ++i){
        //     printf("%.0f ", temp[i]*F[i]);
        // }
        // printf("
");
        memcpy(buf, temp, sizeof(double) * N);
        fill(temp, temp + N, 0);
        sum += nums[k];
    }
}

int main(int argc, const char** argv) {
    F[0] = 1ll;
    for(int i = 1; i < N; i++){
        F[i] = F[i - 1] * i;
    }
    calculate();
    int n,m;
    while (~scanf("%d%d",&n, &m)){
        for (int i = 0;i < n; ++i){
            scanf("%lld", &nums[i]);
        }
        calculate(n);
        printf("%.0f
", buf[m]*F[m]);
    }
    return 0;
}

这个程序有以下几点要注意的:

1. 那个sum表示的是已经计算出的最高次项,由当前的元素出现的次数决定;

2. 第二个是因为最后的buf存储的系数实际是除以阶乘之后的,所以要用double来存储,并且在最后输出结果是要再乘以对应的阶乘.

3. 就是这里面表示第二个乘式的(x^i)的变化的j每一步的增长是一步,可以从上面的定理中看出.

其它