图论：割点和桥

一、相关概念

1、点连通度：最小V的点数（一个图的点的连通度是最小割点集合中的顶点数）

2、边连通度：最小E的边数（一个图的边的连通度是最小割边集合中的顶点数）

3、割点：去掉割点这个图不连通（点连通度为1时，V的唯一元素）

4、割边（桥）：去掉割边这个图不连通（边连通度为1时，E的唯一元素）

5、双连通图：

如果一个无向图的点连通度大于1，则是点双联通；

如果一个无向图的边连通度大于1，则是边双联通。

6、双联通分量：

在图G中，G’是G的子图，G’双联通，则G’是双联通分量。

（双联通分量一定是点双联通分量，但不一定是边双联通分量）

7、双连通性：将无向图的任意顶点删除后，剩下的图依然连通，那么这样的图是双联通的。

二、割点的求解方法

1、无向图的深度优先生成树：

将对无向图进行深度优先遍历的顺序作为树节点的编号，建立正向边；

相反的，如果遍历到已经存在的节点，建立相应的背向边。

2、求解割点的过程：

（1）建立Num（v），按照深搜的顺序给节点编号（先序遍历编号）

（2）建立Low（v）的三原则：（后序遍历）

Num（v）；

所有背向边（v,w）中最低的Num（w）；

所有边（v,w）中最低的Low（w）；

（3）割点的条件

如果是根节点：有一个以上的儿子；

如果不是根节点：Low（v）>= Num（v）。

（具体实现的细节：

（1）可以让根节点就是割点然后建立深搜树，再求割点；

（2）也可以记录每个节点的儿子的数量然后分别判断根节点与非根节点）。

3、实现：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<vector>
using namespace std;
const int maxn = 1200;
const int INF = 0x3ffffff;
int num[maxn],parent[maxn],low[maxn],vis[maxn],cnt;
vector <int> vc[maxn];
int MIN(int x,int y)
{
    return x<y?x:y;
}
void AssignNum(int v) //建立dfs深搜树 
{
    int i,w;
    num[v]=cnt++;
    vis[v]=1;
    for(i=0;i<vc[v].size();i++){
        w=vc[v][i];
        if(vis[w]==0){
            parent[w]=v;
            AssignNum(w);
        }
    }
}
void AssignLow(int v) //建立low数组，打印割点 
{
    int i,w;
    low[v]=num[v];
    for(i=0;i<vc[v].size();i++){
        w=vc[v][i];
        if(num[w]>num[v]){
            AssignLow(w);
            if(low[w]>=num[v]){
                printf("The gedian is %d
",v);
            }
            low[v]=MIN(low[v],low[w]);
        }
        else if(parent[v]!=w){
            low[v]=MIN(low[v],num[w]);
        }
    }
}
void FindArt(int v) //打印割点 = AssignNum+AssignLow; 
{
    int i,w;
    low[v]=num[v]=cnt++;
    vis[v]=1;
    for(i=0;i<vc[v].size();i++){
        w=vc[v][i];
        if(!vis[w]){
            parent[w]=v;
            FindArt(w);
            if(low[w]>=num[v]) printf("The articulation point is %d
",v);
            low[v]=MIN(low[v],low[w]);
        }
        else if(parent[v]!=w) low[v]=MIN(low[v],num[w]);
    }
}
int main(void)
{
    int n,m,i,j,x,y;
    cin>>n>>m;
    cnt=1;
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    for(i=0;i<m;i++){
        scanf("%d%d",&x,&y);
        vc[x].push_back(y);
        vc[y].push_back(x);
    }
    //AssignNum(3);
    //AssignLow(3);
    FindArt(4); //根节点是割点 
    return 0;
}

/*
7 8
1 2
2 3
3 4
4 1
4 7
4 5
7 5
3 6
*/

三、桥的求解方法

一条无向边（u，v）是桥当且仅当（u，v）是深搜树的树枝边且满足Num（u）< Low（v）。

            if(num[v]<low[w]) printf("---The edge (%d,%d) is artedge
",v,w);  //求割边