一、概述
１．简单线性回归
一种基于自变量（x）来预测因变量（Ｙ）的方法．假设这两个变量是线性相关的，则寻找出根据特征或者自变量的线性函数来精准预测响应值．线性回归意味着可以将输入项分别乘以一些常量，再将结果加起来得到输出。需要说明的是，存在另一种成为非线性回归的回归模型，该模型不认同上面的做法，比如认为输出可能是输入的乘积。
应该怎么从一大堆数据里求出回归方程呢？假定输入数据存放在矩阵X中，结果存放在向量y中：
而回归系数存放在向量w中：
那么对于给定的数据x1，即矩阵X的第一列数据，预测结果u1将会通过如下公式给出：
现在的问题是，手里有数据矩阵X和对应的标签向量y，怎么才能找到w呢？一个常用的方法就是找出使误差最小的w。这里的误差是指预测u值和真实y值之间的差值，使用该误差的简单累加将使得正差值和负差值相互抵消，所以我们采用平方误差。
平方误差和可以写做：
用矩阵表示还可以写做：
为啥能这么变化，记住一个前提：若x为向量，则默认x为列向量，x^T为行向量。将上述提到的数据矩阵X和标签向量y带进去，就知道为何这么变化了。
在继续推导之前，我们要先明确一个目的：找到w，使平方误差和最小。因为我们认为平方误差和越小，说明线性回归拟合效果越好。
现在，我们用矩阵表示的平方误差和对w进行求导：
如果对于矩阵求不熟悉的，https://blog.csdn.net/nomadlx53/article/details/50849941
令上述公式等于0，得到：
w上方的小标记表示，这是当前可以估计出的w的最优解。从现有数据上估计出的w可能并不是数据中的真实w值，所以这里使用了一个"帽"符号来表示它仅是w的一个最佳估计。
值得注意的是，上述公式中包含逆矩阵，也就是说，这个方程只在逆矩阵存在的时候使用，也即是这个矩阵是一个方阵，并且其行列式不为0。最佳w求解是统计学中的常见问题，除了矩阵方法外还有很多其他方法可以解决。通过调用NumPy库里的矩阵方法，我们可以仅使用几行代码就完成所需功能。该方法也称作OLS， 意思是“普通小二乘法”（ordinary least squares）。数据下载：https://github.com/Jack-Cherish/Machine-Learning/blob/master/Regression/ex0.txt
2、局部加权线性回归
线性回归的一个问题是有可能出现欠拟合现象，因为它求的是具有小均方误差的无偏估计。如果模型欠拟合将不能取得好的预测效果。所以有些方法允许在估计中引入一 些偏差，从而降低预测的均方误差。
其中的一个方法是局部加权线性回归（Locally Weighted Linear Regression，LWLR）。在该方法中，我们给待预测点附近的每个点赋予一定的权重。与kNN一样，这种算法每次预测均需要事先选取出对应的数据子集。该算法解除回归系数W的形式如下：
其中W是一个矩阵，这个公式跟我们上面推导的公式的区别就在于W，它用来给每个点赋予权重。
LWLR使用"核"（与支持向量机中的核类似）来对附近的点赋予更高的权重。核的类型可以自由选择，最常用的核就是高斯核，高斯核对应的权重如下：
这样我们就可以根据上述公式，编写局部加权线性回归，我们通过改变k的值，可以调节回归效果，当k越小，拟合效果越好。但是当k过小，会出现过拟合的情况。
3、岭回归
如果数据的特征比样本点还多应该怎么办？很显然，此时我们不能再使用上文的方法进行计算了，因为矩阵X不是满秩矩阵，非满秩矩阵在求逆时会出现问题。统计学家引入岭回归（ridge regression）的概念。
岭回归即我们所说的L2正则线性回归（正则有两个，其中L1正则是LASSO，L2是ridge，可用于过拟合），在一般的线性回归最小化均方误差的基础上增加了一个参数w的L2范数的罚项，从而最小化罚项残差平方和：
简单说来，岭回归就是在普通线性回归的基础上引入单位矩阵。回归系数的计算公式变形如下：
式中，矩阵I是一个mxm的单位矩阵，加上一个λI从而使得矩阵非奇异，进而能对矩阵求逆。
岭回归最先用来处理特征数多于样本数的情况，现在也用于在估计中加入偏差，从而得到更好的估计。这里通过引入λ来限制了所有w之和，通过引入该惩罚项，能够减少不重要的参数，这个技术在统计学中也可以叫做缩减（shrinkage）。
缩减方法可以去掉不重要的参数，因此能更好地裂解数据。此外，与简单的线性回归相比，缩减法能够取得更好的预测效果。（为了使用岭回归和缩减技术，首先需要对特征做标准化处理。因为，我们需要使每个维度特征具有相同的重要性。本文使用的标准化处理比较简单，就是将所有特征都减去各自的均值并除以方差。）
二、算法
简单线性回归、局部加权线性回归
三、使用
３．１数据预处理
导入相关库
导入数据集
检查缺失数据
划分数据集
特征缩放将使用简单线性模型的相关库来进行
３．２通过训练集来训练简单线性回归模型
使用来自sklearn．linear＿model库的LinearnRegression类，然后创建一个LinearnRegression的regressor对象，最后使用LinearnRegression类的fit（）方法将regressor对象对数据集进行训练．
３．３预测结果
预测来自测试集的结果，把输出保存在向量Ｙ＿pred中．使用前一不中的训练回归模型regressor的LinearnRegression类的预测方法来对结果进行预测．
# 简单线性回归 import pandas as pd import numpy as np from sklearn.linear_model import LinearRegression from sklearn.model_selection import train_test_split import matplotlib.pyplot as plt dataset = pd.read_csv('studentscores.csv') X = dataset.iloc[: , :1].values #print(X) Y = dataset.iloc[:,1].values #print(Y) seed = 7 X_train, X_test, Y_train, Y_test = train_test_split(X, Y, test_size=0.2, random_state=seed) # print(X_test) # print('*********') # print(Y_test) # print('*********') # print(X_train) # print('*********') # print(Y_train) regressor = LinearRegression() regressor = regressor.fit(X_train, Y_train) Y_pred = regressor.predict(X_test) print(Y_pred)
[52.33357604 16.89577953 60.20864193 34.61467779 33.63029455]
四、参数
用sklearn实现下岭回归吧。
官方英文文档地址：https://scikit-learn.org/stable/modules/generated/sklearn.linear_model.Ridge.html
sklearn.linear_model提供了很多线性模型，包括岭回归、贝叶斯回归、Lasso等。本文主要讲解岭回归Ridge。
1、Ridge
让我们先看下Ridge这个函数，一共有8个参数：
参数说明如下：
- alpha：正则化系数，float类型，默认为1.0。正则化改善了问题的条件并减少了估计的方差。较大的值指定较强的正则化。
- fit_intercept：是否需要截距，bool类型，默认为True。也就是是否求解b。
- normalize：是否先进行归一化，bool类型，默认为False。如果为真，则回归X将在回归之前被归一化。 当fit_intercept设置为False时，将忽略此参数。 当回归量归一化时，注意到这使得超参数学习更加鲁棒，并且几乎不依赖于样本的数量。 相同的属性对标准化数据无效。然而，如果你想标准化，请在调用normalize = False训练估计器之前，使用preprocessing.StandardScaler处理数据。
- copy_X：是否复制X数组，bool类型，默认为True，如果为True，将复制X数组; 否则，它覆盖原数组X。
- max_iter：最大的迭代次数，int类型，默认为None，最大的迭代次数，对于sparse_cg和lsqr而言，默认次数取决于scipy.sparse.linalg，对于sag而言，则默认为1000次。
- tol：精度，float类型，默认为0.001。就是解的精度。
- solver：求解方法，str类型，默认为auto。可选参数为：auto、svd、cholesky、lsqr、sparse_cg、sag。
- auto根据数据类型自动选择求解器。
- svd使用X的奇异值分解来计算Ridge系数。对于奇异矩阵比cholesky更稳定。
- cholesky使用标准的scipy.linalg.solve函数来获得闭合形式的解。
- sparse_cg使用在scipy.sparse.linalg.cg中找到的共轭梯度求解器。作为迭代算法，这个求解器比大规模数据（设置tol和max_iter的可能性）的cholesky更合适。
- lsqr使用专用的正则化最小二乘常数scipy.sparse.linalg.lsqr。它是最快的，但可能在旧的scipy版本不可用。它是使用迭代过程。
- sag使用随机平均梯度下降。它也使用迭代过程，并且当n_samples和n_feature都很大时，通常比其他求解器更快。注意，sag快速收敛仅在具有近似相同尺度的特征上被保证。您可以使用sklearn.preprocessing的缩放器预处理数据。
- random_state：sag的伪随机种子。
以上就是所有的初始化参数，当然，初始化后还可以通过set_params方法重新进行设定。
五、特别之处
- 与分类一样，回归也是预测目标值的过程。回归与分类的不同点在于，前者预测连续类型变量，而后者预测离散类型变量。
- 岭回归是缩减法的一种，相当于对回归系数的大小施加了限制。另一种很好的缩减法是lasso。lasso难以求解，但可以使用计算简便的逐步线性回归方法求的近似解。
- 缩减法还可以看做是对一个模型增加偏差的同时减少方法
感谢：机器学习实战教程：线性回归基础篇 | Jack Cui