zoukankan      html  css  js  c++  java
  • 【提高组NOIP2008】传纸条 题解

    题目描述
    小渊和小轩是好朋友也是同班同学,他们在一起总有谈不完的话题。一次素质拓展活动中,班上同学安排做成一个m行n列的矩阵,而小渊和小轩被安排在矩阵对角线的两端,因此,他们就无法直接交谈了。幸运的是,他们可以通过传纸条来进行交流。纸条要经由许多同学传到对方手里,小渊坐在矩阵的左上角,坐标(1,1),小轩坐在矩阵的右下角,坐标(m,n)。从小渊传到小轩的纸条只可以向下或者向右传递,从小轩传给小渊的纸条只可以向上或者向左传递。

    在活动进行中,小渊希望给小轩传递一张纸条,同时希望小轩给他回复。班里每个同学都可以帮他们传递,但只会帮他们一次,也就是说如果此人在小渊递给小轩纸条的时候帮忙,那么在小轩递给小渊的时候就不会再帮忙。反之亦然。

    还有一件事情需要注意,全班每个同学愿意帮忙的好感度有高有低(注意:小渊和小轩的好心程度没有定义,输入时用0表示),可以用一个0-100的自然数来表示,数越大表示越好心。小渊和小轩希望尽可能找好心程度高的同学来帮忙传纸条,即找到来回两条传递路径,使得这两条路径上同学的好心程度只和最大。现在,请你帮助小渊和小轩找到这样的两条路径。

    输入
    输入文件message.in的第一行有2个用空格隔开的整数m和n,表示班里有m行n列(1<=m,n<=50)。

    接下来的是一个m*n的矩阵,矩阵中第i行j列的整数表示坐在第i行j列的学生的好心程度。每行的n个整数之间用空格隔开。

    输出
    输出文件message.out共一行,包含一个整数,表示来回两条路上参与传递纸条的学生的好心程度之和的最大值。

    样例输入
    3 3
    0 3 9
    2 8 5
    5 7 0

    样例输出
    34

    数据范围限制
    30%的数据满足:1<=m,n<=10
    100%的数据满足:1<=m,n<=50

    思路

    其实是一个很简单的dp,我能想到的有三种做法。

    法1

    第一种做法是四维dp,这也是最好想的,设f[i][j][k][l]为从小渊传到小轩的纸条到达(i,j),从小轩传给小渊的纸条到达(k,l)的路径上取得的最大的好心程度和。

    完全可以换一个思路想,即求从给定的起点出发走到指定位置的两条最短严格不相交路线。

    那么特别显然,转移方程是 f[i][j][k][l]=max( f[i][j-1][k-1][l] , f[i-1][j][k][l-1] , f[i][j-1][k][l-1] , f[i-1][j][k-1][l] )+a[i][j]+a[k][l]。

    要小心l的枚举范围,应该是从j+1到m,只有这样,在枚举第二条路的时候可以控制下标的l不会和j有相等的可能,这样可以保证两条路一定不相交(想一想,为什么)

    由于终点的值是0,所以目标状态就是f[n][m-1][n-1][m]。

    如果你不想这样做,那就让l直接从1枚举,但需要加一个判断,判断当前的(i,j)和(k,l)是不是重合了,如果重合那就把f数组对应的这个地方在转移后减掉一个a[i][j]或者a[k][l]。

    原数据比较弱,这个算法时间复杂度是O(n^2 * m^2)的,所以可以过。

    法2

    第二种做法为三维dp,如果这道题数据被加强了一点,那就应该用这个方法。

    仔细观察,我们不难发现一个规律,对于每次转移,这两位同学的纸条走的步数总是相等的,也就是应该总有i+j = k+l = step,我们从这里考虑入手,简化一下那个方程。

    我们枚举走的步数,同时枚举第一个人和第二个人的横坐标或者纵坐标,对,只枚举一个就好,另一个可以算出来。

    我枚举的是横坐标。

    但这样做第一维(也就是枚举步数那一维)要开两倍大小(步数最大有n+m-1),并且需要加入判断重合操作。

    优化之后速度比上一个快很多,它的时间复杂度是O(n^2*(n+m)).

    法3

    第二种做法为二维dp,和第二种方法基本类似。
    就是第二种方法,dp是只要用当前步数和前一个步数,所以可以开两个dp二位数组来压位。
    空间小,时间一样。

  • 相关阅读:
    【题解】Luogu P3217 [HNOI2011]数矩形
    【题解】 Luogu P4312 / SP4155 [COCI 2009] OTOCI / 极地旅行社
    珂朵莉树详解
    数学手法之线性基
    【题解】luogu P3386 【模板】二分图匹配
    【题解】Luogu P2146 [NOI2015]软件包管理器
    css 垂直居中方法汇总
    css3中什么时候用transition什么时候用animation实现动画
    前端进阶(8)
    前端进阶(12)
  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/2020-zhy-jzoj/p/13159885.html
Copyright © 2011-2022 走看看