对于二分的理解

看了曦行夜落-浅谈二分的边界问题后深有感触，特此写下此篇博客以作梳理。

简介

　　 二分是一种求取极值的算法，通常是已知所求答案的范围，然后根据一系列约束条件对其进行控制使得到的答案最优。二分答案需要满足单调性，举个例子来看，我们要完求完成任务的最小代价（范围为1到100），我们考虑中间值50：

　　　　　　如果以50的代价可以完成任务，那么，我们以51~100的代价显然也可以完成任务。

　　　　　　如果以50的代价不能完成任务，那么，我们以0~50的代价就都不能完成任务。

　　正是因为这种单调性，才使得二分可以在log₂n的时间内完成查找工作。

进行原理

　　我们接着考虑上面的例子，我们可以发现：

　　　　　　如果以50的代价可以完成任务，那么，我们以51~100的代价显然也可以完成任务。则，我们需要在0~50中去寻找更优的满足条件的解。

　　　　　　如果以50的代价不能完成任务，那么，我们以0~50的代价就都不能完成任务。则，我们只能通过去牺牲数据，在51~100中去需找满足条件的解。

　　这就是二分的进行机制，由此，我们可以发现，二分中真正重要的地方是中间条件的取值。

对于二分中间值的讨论

　　二分的中间值是二分过程中最容易出锅的地方， 对于是应该取mid + 1还是mid - 1又或是mid常常让人混乱，这里我们对其进行一定的梳理。

　　二分中的主要思想有以下三种：

1. 1. l 和 r 所代表的”成本值”均可行（即当前讨论的区间为[ l, r]），且存在一个最优解ans。
   2. l 和 r 所代表的“成本值”均可行,最后答案是 l 和 r。
   3. l 和 r 所代表的“成本值”只有 l 可行而 r 不可行（即当前讨论的区间是[l, r ) ），最终的答案是 l。

　　我们对前两种算法进行模板归纳：

　　　　思想1:储存答案

for (;l<=r;)
{
    int mid=(l+r)/2;
    if (check(mid))
    {
        ans=mid;
        r=mid-1;
    }
    else l=mid+1;
}
printf("%d",ans);

　　　　结束条件是l > r 时停止循环，此时答案记录为ans。（依旧以上面举到的例子求大于条件的最小值）

　　　　对于每次循环中的mid，都把当前的区间分为了三部分[l , mid - 1] ， mid， [ mid + 1, r]，这三部分中，我们根据mid处的值将问题分为两类。

1. 1. 当mid满足条件的时候，我们就把mid当作是的当前的最优解，然后去考虑[l, mid - 1]中有没有可以刷新当前最优解的更优解。
   2. 当mid不满足条件的时候，我们就考虑[mid + 1, r]中有没有可以满足条件的解。

　　　　求大于的最小值则正好相反。

　　　　思想2：不储存答案

while (l<r)
{
    int mid=(l+r)/2;
    if (check(mid)) r=mid
    else l=mid+1;
}
printf("%d",l); 

　　　　结束条件是 （l == r），此时l 和 r 相同且都是最优解。（依旧以上面的例子求大于条件的最小值）

　　　　对于每次循环中的mid，都把当前的区间分为了两部分[l, mid], [mid + 1, r]，这两部分中我们根据mid的值将问题分为两类。

1. 1. 当mid满足条件的时候，我们把mid看作是一个可行解，根据二分的单调性我们可以知道[mid + 1, r]一定都满足条件且没有mid更优，所以我们可以得到更优的解一定是存在于[l, mid]中的。为什么要包括mid呢？我们可以这样来看，我们假设当mid就是满足条件的最优解而且这个区间中数的个数不只一个，如果我们只考虑[l, mid - 1]的话，就会因为漏解而使得最终答案错误。
   2. 当mid不满足条件的时候，根据单调性[l, mid]一定都不能满足条件，所以我们只需要在[mid + 1, r]中寻找满足条件的解即可。

　　　　反过来，如果我们求的是小于条件的最大值时，对于每次循环中的mid, 都把当前区间分为了两部分[l, mid - 1]，[mid, r]，两部分。

二分查找

　　二分查找就是最经典的二分答案，我们对于一个有序序列，记录查找值为key的数， 而对于一个为key的数，我们既可以把他看作是满足大于条件的最小值，也可以看作是满足小于条件的最大值。