使用卷积计算移动平均值

　　CSV（Comma-Separated Value，逗号分隔值）格式是一种常见的文件格式。NumPy中的loadtxt函数可以方便地读取CSV文件，自动切分字段，并将数据载入NumPy数组。 

　　我们以某公司的历史股价数据为例展开叙述。股价数据存储在CSV文件中，第一列为yyyy-mm-dd格式的日期，随后各列依次是收盘价、成交量、开盘价、最高价、最低价。下面为前几行数据： 

　　我们只关注股票的收盘价和成交量。我们将收盘价和成交量分别载入到两个数组中：

c, v = np.loadtxt('Stock_Prices.csv', delimiter=',', usecols=(1,2), unpack=True)

　　可以看到，数据存储在Stock_Prices.csv文件中，用delimiter参数指定了文件中的分隔符为英文逗号 ","； usecols的参数为一个元组，以获取第1列和第2列的数据，也就是股票的收盘价和成交量数据。 unpack参数设置为True，意思是分拆存储不同列的数据，即分别将收盘价和成交量的数组赋值给变量c和v。 

1. 计算成交量平均价格

　　VWAP （Volume-Weighted Average Price，成交量加权平均价格）是一个非常重要的经济学量，它代表着金融资产的“平均”价格。某个价格的成交量越高，该价格所占的权重就越大。 VWAP就是以成交量为权重计算出来的加权平均值，常用于算法交易。 

import numpy as np

c, v = np.loadtxt('Stock_Prices.csv', delimiter=',', usecols=(1,2), unpack=True)

vwap = np.average(c, weights = v)

print "VWAP =", vwap

The output is
VWAP = 37.00109716 

我们仅仅调用了average函数，并将v作为权重参数使用，就完成了加权平均值的计算。此外， NumPy中也有计算算术平均值的函数mean。 

2. 计算算数平均值

print "mean =", np.mean(c)

mean = 37.0013015873

3. 简单移动平均线

　　简单移动平均线（moving average）通常用于分析时间序列上的数据。为了计算它，我们需要定义一个N个周期的移动窗口，在我们的例子中即N个交易日。我们按照时间序列滑动这个窗口，并计算窗口内数据的均值。 

　　移动平均线只需要少量的循环和均值函数即可计算得出，但使用NumPy还有更优的选择——convolve函数。简单移动平均线只不过是计算与等权重的指示函数的卷积，当然，也可以是不等权重的。卷积是分析数学中一种重要的运算，定义为一个函数与经过翻转和平移的另一个函数的乘积的积分。 

　　按照如下步骤计算简单移动平均线：

　　(1) 使用ones函数创建一个长度为N的元素均初始化为1的数组，然后对整个数组除以N，即可得到权重 

N = int(sys.argv[1])
weights = np.ones(N) / N
print "Weights", weights

　　在N = 5时，输出结果如下：
　　Weights [ 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2]

　　(2) 使用这些权重值，调用convolve函数：

　　c = np.loadtxt('Stock_Prices.csv', delimiter=',', usecols=(1,), unpack=True)
　　ma = np.convolve(weights, c)[N-1:-N+1] 

　　(3) 使用Matplotlib进行绘图

　　　　在ipython中运行如下代码: %run  calculate_ma.py  5

import numpy as np
import sys
from matplotlib.pyplot import plot
from matplotlib.pyplot import show

N = int(sys.argv[1])
weights = np.ones(N) / N

c = np.loadtxt('Stock_Prices.csv', delimiter=',', usecols=(1,), unpack=True)
ma = np.convolve(weights, c)[N-1:-N+1]

t = np.arange(N - 1, len(c))
plot(t, c[N-1:], lw=1.0)
plot(t, ma, lw=2.0)
show()

　　在下图中，相对较平滑的粗线描绘的是5日移动平均线，而锯齿状的细线描绘的是每天的收盘价。 

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•   序列的基本运算

 　　在数字信号处理中，序列通常有下面几种运算形式：

1. 序列相加

　　序列之间的加法，是指两个序列的同序号的值逐项对应相加。即在同一时刻n，对幅值进行叠加：

　　$$y(n)=x_1(n)+x_2(n)$$

 2. 序列乘常数

　　一个常数乘以序列，是指该常数乘以序列的每一个值，如：

$$y(n)= k cdot x(n)$$

　　k可以是复数也可以是实数。当k为实数，且k>1时，就是通常所说的放大作用，即把序列x(n)的幅度放大了k倍。

3. 序列相乘

　　序列之间的乘法，是指两个序列的同序号的值逐项对应相乘：

$$y(n)=x_1(n) cdot x_2(n)$$

4. 序列移位

　　序列x(n)向右（左）平移，是将序列号减去（加上）m（m>0），如：

$y(n)=x(n-m)$，右移m

$y(n)=x(n+m)$，左移m

　　下图中分别表示了原序列x(n)、x(n+2)和x(n-1)的图形。由图可见，x(n+2)表示原序列左移2个单位，通常称序列的超前；x(n-1)表示原序列右移1个单位，通常称序列的延时。 作为实现序列延时的实际离散系统就是移位寄存器或存储器。 

 

 5. 序列翻转

　　设序列x(n)用下图a表示，其翻转序列x(-n)用图b表示。x(n)与x(-n)关于纵坐标轴对称。

 6. 序列卷积

　　两个序列的线性卷积定义为

 $$x(n)*y(n)=sum_{k=-infty}^{infty}x(k)y(n-k)$$

 　　其中，符号“*”表示一种特定的运算形式，称作“卷积”。

　　卷积运算的求解过程为：

　　①. 将x(n)和y(n)用x(k)和y(k)表示，并将y(k)翻转，形成y(-k)；

　　②. 将y(-k)移位n，得到y(n-k)。当n>0时，序列右移；当n<0时，序列左移；

　　③. 将x(k)和y(n-k)相同k的序列值对应相乘后，再相加

　　按以上3个步骤可得到卷积结果x(n)*y(n)。

　　下面通过图例来说明。如计算序列h(n)与x(n)的卷积y(n)，先将原坐标n换成坐标m，n成为m坐标中的参变量 

　　将x(m)沿纵轴翻转得到x(-m)

　　将x(-m)的值每次右移一次，分别得到x(1-m)，x(2-m)，...，x(n-k)。当n<0时（如n=-1），从图中可以看出此时x(n-m)与h(m)没有相互重叠的区域，则卷积为0。

　　当n=0时x(-m)与h(m)在m=0点有重叠，故y(0)不为零。以后随着n的增加x(n-m)逐渐右移，x(n-m)与h(m)相互重叠的值也越来越多。当n=时3时，x(3-m)已有一个值移出h(m)所在的区间。当n>5时，x(n-m)已全部移出h(m)所在的区间，此时卷积y(n)又等于零了。

　　卷积y(n)波形图(f)所示：

　　可以使用numpy中的convolve函数进行验证：

h = np.ones(3)
x = np.array([0.5,1,1.5,2])
y = np.convolve(h, x)

print y

　　卷积运算服从交换律: x(n) * y(n) = y(n) * x(n)

　　卷积运算服从加法分配律： y(n) * [x₁(n) + x₂(n)] = y(n) * x₁(n) + y(n) * x₂(n)

　　卷积也服从结合律：x(n) * h₁(n) * h₂(n) = [x(n) * h₁(n)] * h₂(n) = [x(n) * h₂(n)] * h₁(n) = x(n) *[h₁(n) * h₂(n)] 

7. 序列的能量

　　序列的能量定义为序列各采样值的平方和，即

$$E=sum_{n=-infty}^{infty}|x(n)|^2$$

　　序列的能量可以是有限的，如能量信号；也可能是无限的，如功率信号。

参考：

移动平均

《数字信号处理及应用》  北京邮电大学出版社