数论——筛法

素数筛法

如果我们想要知道小于等于 n有多少个素数呢？

一个自然的想法是我们对于小于等于n的每个数进行一次判定。这种暴力的做法显然不能达到最优复杂度，考虑如何优化。

考虑这样一件事情：如果x是合数，那么x的倍数也一定是合数。利用这个结论，我们可以避免很多次不必要的检测。

如果我们从小到大考虑每个数，然后同时把当前这个数的所有（比自己大的）倍数记为合数，那么运行结束的时候没有被标记的数就是素数了。

int Eratosthenes(int n) {
  int p = 0;
  for (int i = 0; i <= n; ++i) is_prime[i] = 1;
  is_prime[0] = is_prime[1] = 0;
  for (int i = 2; i <= n; ++i) {
    if (is_prime[i]) {
      prime[p++] = i;  // prime[p]是i,后置自增运算代表当前素数数量
      for (int j = i * i; j <= n;
           j += i)  // 因为从 2 到 i - 1 的倍数我们之前筛过了，这里直接从 i
                    // 的倍数开始，提高了运行速度
        is_prime[j] = 0;  //是i的倍数的均不是素数
    }
  }
  return p;
}

以上为 Eratosthenes 筛法 （埃拉托斯特尼筛法），时间复杂度是 O(nlognlogn)。

但显然有重复被标记的，所以无法达到线性。

线性筛法代码：

void init() {
  phi[1] = 1;
  for (int i = 2; i < MAXN; ++i) {
    if (!vis[i]) {
      phi[i] = i - 1;
      pri[cnt++] = i;
    }
    for (int j = 0; j < cnt; ++j) {
      if (1ll * i * pri[j] >= MAXN) break;
      vis[i * pri[j]] = 1;
      if (i % pri[j]) {
        phi[i * pri[j]] = phi[i] * (pri[j] - 1);
      } else {
        // i % pri[j] == 0
        // 换言之，i 之前被 pri[j] 筛过了
        // 由于 pri 里面质数是从小到大的，所以 i 乘上其他的质数的结果一定也是
        // pri[j] 的倍数 它们都被筛过了，就不需要再筛了，所以这里直接 break
        // 掉就好了
        phi[i * pri[j]] = phi[i] * pri[j];
        break;
      }
    }
  }
}

上面的这种 线性筛法 也称为 Euler 筛法 （欧拉筛法）。

注意到筛法求素数的同时也得到了每个数的最小质因子。

筛法求欧拉函数

注意到在线性筛中，每一个合数都是被最小的质因子筛掉。比如设p1是n的最小质因子,n'=n/p1 ，那么线性筛的过程中n通过n'*p筛掉。

观察线性筛的过程，我们还需要处理两个部分，下面对 n'modp1分情况讨论。

如果n'modp1=0，那么 n'包含了n的所有质因子。

 那如果n'modp1!=0 呢，这时n'和 n是互质的，根据欧拉函数性质，我们有：

void phi_table(int n, int* phi) {
  for (int i = 2; i <= n; i++) phi[i] = 0;
  phi[1] = 1;
  for (int i = 2; i <= n; i++)
    if (!phi[i])
      for (int j = i; j <= n; j += i) {
        if (!phi[j]) phi[j] = j;
        phi[j] = phi[j] / i * (i - 1);
      }
}

筛法求莫比乌斯函数

线性筛

void pre() {
  mu[1] = 1;
  for (int i = 2; i <= 1e7; ++i) {
    if (!v[i]) mu[i] = -1, p[++tot] = i;
    for (int j = 1; j <= tot && i <= 1e7 / p[j]; ++j) {
      v[i * p[j]] = 1;
      if (i % p[j] == 0) {
        mu[i * p[j]] = 0;
        break;
      }
      mu[i * p[j]] = -mu[i];
    }
  }

筛法求约数个数

void pre() {
  d[1] = 1;
  for (int i = 2; i <= n; ++i) {
    if (!v[i]) v[i] = 1, p[++tot] = i, d[i] = 2, num[i] = 1;
    for (int j = 1; j <= tot && i <= n / p[j]; ++j) {
      v[p[j] * i] = 1;
      if (i % p[j] == 0) {
        num[i * p[j]] = num[i] + 1;
        d[i * p[j]] = d[i] / num[i * p[j]] * (num[i * p[j]] + 1);
        break;
      } else {
        num[i * p[j]] = 1;
        d[i * p[j]] = d[i] * 2;
      }
    }
  }
}

筛法求约数和

fi表示i的约数和，gi表示i的最小质因子的和

void pre() {
  g[1] = f[1] = 1;
  for (int i = 2; i <= n; ++i) {
    if (!v[i]) v[i] = 1, p[++tot] = i, g[i] = i + 1, f[i] = i + 1;
    for (int j = 1; j <= tot && i <= n / p[j]; ++j) {
      v[p[j] * i] = 1;
      if (i % p[j] == 0) {
        g[i * p[j]] = g[i] * p[j] + 1;
        f[i * p[j]] = f[i] / g[i] * g[i * p[j]];
        break;
      } else {
        f[i * p[j]] = f[i] * f[p[j]];
        g[i * p[j]] = 1 + p[j];
      }
    }
  }
  for (int i = 1; i <= n; ++i) f[i] = (f[i - 1] + f[i]) % Mod;
}

总结：这些筛法都是基于素数的线性筛，因为这些函数对于素数来说都是是积性函数。