数论——中国剩余定理

中国剩余定理

设m1,m2...,mn是两两互质的整数，m=∏ⁿ_i=1mi,Mi=m/mi,ti是线性同余方程Mi*ti≡1(mod mi)的一个解。对于任意的n个整数a1,a2,...,an

,方程组

 有整数解，解为x=∑aiMiti。

算法流程

证明过程

 应用

某些计数问题或数论问题出于加长代码、增加难度、或者是一些其他不可告人的原因，给出的模数： 不是质数 ！

但是对其质因数分解会发现它没有平方因子，也就是该模数是由一些不重复的质数相乘得到。

那么我们可以分别对这些模数进行计算，最后用 CRT 合并答案。

 求解方法

#include<iostream>
#include<vector>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;
typedef long long lt;

lt read()
{
    lt f=1,x=0;
    char ss=getchar();
    while(ss<'0'||ss>'9'){if(ss=='-')f=-1;ss=getchar();}
    while(ss>='0'&&ss<='9'){x=x*10+ss-'0';ss=getchar();}
    return f*x;
}

const int maxn=100010;
int n;
lt ai[maxn],bi[maxn];

lt mul(lt a,lt b,lt mod)
{
    lt res=0;
    while(b>0)
    {
        if(b&1) res=(res+a)%mod;
        a=(a+a)%mod;
        b>>=1;
    }
    return res;
}

lt exgcd(lt a,lt b,lt &x,lt &y)
{
    if(b==0){x=1;y=0;return a;}
    lt gcd=exgcd(b,a%b,x,y);
    lt tp=x;
    x=y; y=tp-a/b*y;
    return gcd;
}

lt excrt()
{
    lt x,y,k;
    lt M=bi[1],ans=ai[1];//第一个方程的解特判
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        lt a=M,b=bi[i],c=(ai[i]-ans%b+b)%b;//ax≡c(mod b)
        lt gcd=exgcd(a,b,x,y),bg=b/gcd;
        if(c%gcd!=0) return -1; //判断是否无解，然而这题其实不用

        x=mul(x,c/gcd,bg);
        ans+=x*M;//更新前k个方程组的答案
        M*=bg;//M为前k个m的lcm
        ans=(ans%M+M)%M;
    }
    return (ans%M+M)%M;
}

int main()
{
    n=read();
    for(int i=1;i<=n;++i)
    bi[i]=read(),ai[i]=read();
    printf("%lld",excrt());
    return 0;
}

bi对应ni，ai就是ai