给定一个整数 n,求以 1 ... n 为节点组成的二叉搜索树有多少种?
示例:
输入: 3 输出: 5 解释: 给定 n = 3, 一共有 5 种不同结构的二叉搜索树: 1 3 3 2 1 / / / 3 2 1 1 3 2 / / 2 1 2 3
解答:
本题确切的含义是:用 n 个节点可以构成多少个二叉搜索树(题目描述存在问题)。那么用卡塔兰数列(也称明安图数列)可以直接解决这个问题。
下面内容摘自wiki百科:
形式为:
递推式为:
也满足
应用可以有以下四种情况:
- Cn表示长度2n的dyck word的个数。Dyck word是一个有n个X和n个Y组成的字串,且所有的前缀字串皆满足X的个数大于等于Y的个数。以下为长度为6的dyck words:
- 将上例的X换成左括号,Y换成右括号,Cn表示所有包含n组括号的合法运算式的个数:
- Cn表示有n个节点组成不同构二叉树的方案数。下图中,n等于3,圆形表示节点,月牙形表示什么都没有。
- Cn表示有2n+1个节点组成不同构满二叉树(full binary tree)的方案数。下图中,n等于3,圆形表示内部节点,月牙形表示外部节点。本质同上。
- Cn表示所有在n × n格点中不越过对角线的单调路径的个数。一个单调路径从格点左下角出发,在格点右上角结束,每一步均为向上或向右。计算这种路径的个数等价于计算Dyck word的个数:X代表“向右”,Y代表“向上”。下图为n = 4的情况:
本题属于第四种应用。
需要指出:res需要用long型内存,否则res =res * 2*(2*i+1)/(i+2) 这一步可能会发生溢出(n = 19时)。当然也可以以用累加的递推式,就不会发生这个问题。
//96 卡塔兰数列 int numTrees(int n) { if(n<2) return 1; long res=1; for(int i=1;i<n;i++) res =res * 2*(2*i+1)/(i+2); return (int)res; }//96