线段树区间取膜438D

438D - The Child and Sequence

题面

长度为n的非负整数数列，3种操作

1. 求([L,R])所有数的和。
2. 将([L,R])中所有数都(mod x)。
3. 将(a_i)修改为(v)。
   (n,m≤100000)

题解

对于一段区间，如果取模的数比这段区间所有的数都大，那取模就是没有意义的，就是说，如果取模的数比区间最大的数还大，那么就不用取模了，所以我们在线段树里再记录一个区间最大值

考虑每次取模，对于每一个数(x)，取模(y)，(x mod y)的值必然比(y)小，如果(y)小于(frac{x}{2})，那x就变得小于(frac{x}{2})，如果(y)大于(frac{x}{2})，(x)剩下的部分也比(frac{x}{2})少，(x)也会变得比(frac{x}{2})小

那么就是说(x)每次取模都会变得比(frac{x}{2})小，就是说，对于一个数(x)，有效的取(mod)最多进行(logx)次，一共只会进行(nlogn)次取模，那么就算对所有的数取模，这个时间复杂度都是可以接受的

那么我们对于每个区间记录一个最大值，如果取模的数大于最大值，就不管，如果小于最大值，就暴力取模

代码

struct BIT {
    struct node {
        int l, r;
        long long sum;
        int mx;
    } tr[N << 2];
    void push_up(int p) {
        tr[p].mx = max(tr[p << 1].mx, tr[p << 1 | 1].mx);
        tr[p].sum = tr[p << 1].sum + tr[p << 1 | 1].sum;
    }
    void build(int p, int l, int r, vector<int>& a) {
        tr[p].l = l, tr[p].r = r;
        if (l == r) {
            tr[p].sum = tr[p].mx = a[l];
            return;
        }
        int mid = l + r >> 1;
        build(p << 1, l, mid, a);
        build(p << 1 | 1, mid + 1, r, a);
        push_up(p);
    }
    int ask(int p, int l, int r) {
        if (tr[p].l >= l && tr[p].r <= r)
            return tr[p].sum;
        int mid = tr[p].l + tr[p].r >> 1;
        if (mid >= r)
            return ask(p << 1, l, r);
        if (mid < l)
            return ask(p << 1 | 1, l, r);
        return ask(p << 1, l, r) + ask(p << 1 | 1, l, r);
    }
    void change(int p, int k, int v) {
        if (tr[p].l == k && tr[p].r == k) {
            tr[p].sum = tr[p].mx = v;
            return;
        }
        int mid = tr[p].l + tr[p].r >> 1;
        if (mid >= k)
            change(p << 1, k, v);
        else if (mid < k)
            change(p << 1 | 1, k, v);
        push_up(p);
    }
    void changemod(int p, int l, int r, int mod) {
        if (tr[p].l == tr[p].r) {
            tr[p].sum = tr[p].mx = tr[p].sum % mod;
            return;
        }
        int mid = tr[p].l + tr[p].r >> 1;
        if (mid >= l && tr[p << 1].mx >= mod)
            changemod(p << 1, l, r, mod);
        if (mid < r && tr[p << 1 | 1].mx >= mod)
            changemod(p << 1 | 1, l, r, mod);
        push_up(p);
    }
} bit;

int main() {
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0), cout.tie(0);

    int n, m;
    cin >> n >> m;

    vector<int> a(n + 1);
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        cin >> a[i];
    bit.build(1, 1, n, a);

    while (m--) {
        int op;
        cin >> op;
        if (op == 1) {
            int l, r;
            cin >> l >> r;
            cout << bit.ask(1, l, r) << '
';
        } else if (op == 2) {
            int l, r, mod;
            cin >> l >> r >> mod;
            bit.changemod(1, l, r, mod);
        } else {
            int k, v;
            cin >> k >> v;
            bit.change(1, k, v);
        }
    }
    return 0;
}