前置知识
- 阶(次数):ep(a):使得ae≡1(mod p)的最小指数e（e≥1),称为a模p的阶（次数）。
- 原根:具有最高次数ep(g)≡p-1(mod p)的数g（g>1）成为模p的原根。
- 原根定理:每个素数都有且恰有φ(p-1)个原根。
- 指标:原根的幂g,g2,g3,g4,......中与a mod p恰好一个同余的数,相应的指数I称为以g为底的a模p的指标。
- 指标的乘法定理:I(ab)=I(a)+I(b)(mod p-1)
二次剩余
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定义：与一个平方数模p同余的非零数成为模p的二次剩余，不与任何一个平方数模p同余的数称为模p的非二次剩余。
二次剩余表示为QR，二次非剩余表示为NR。
勒让德符号：$left ( frac{a}{p} ight )$={ 1(a为模p的二次剩余）
-1(a为模p的非二次剩余） }
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定理1：设p是一个奇素数，则恰有 $frac{p-1}{2}$个模p的二次剩余，且恰有$frac{p-1}{2}$个模p的二次非剩余。
反证法证明： 根据二次剩余定义：
二次剩余是这样一些数：12，22，32，......,(p-1)2(mod p)
又∵ (p-b)2=p2+2pb+b2≡b2(mod p)
∴12，22，32，......,$left ( frac{p-1}{2}
ight )$2与$left ( frac{p+1}{2}
ight )$2,$left ( frac{p+3}{2}
ight )$2,$left ( frac{p+5}{2}
ight )$2,......,(p-1)2（mod p）在数值上相等
设1≤a,b≤ $frac{p-1}{2}$,且a2≡b2(mod p)，且a≠b
则（a-b)(a+b)≡0(mod p)
但∵2≤a+b≤p-1，2≤a-b≤p-1，a≠b
∴（a-b)(a+b)≡0(mod p)不成立
故12，22，32，......,$left ( frac{p-1}{2} ight )$2（mod p）各不相同
又∵1-p有p-1个数
∴恰有 $frac{p-1}{2}$个模p的二次剩余，且恰有$frac{p-1}{2}$个模p的二次非剩余。
Q.E.D.
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定理2：设g为模p的原根，g,g2,g3,......,gp-1给出了模p所有的非零剩余。
根据原根定义：g>1
又∵g的偶次幂g2k都可以表示为gk*2
∴g的偶次幂都是平方数且各不相同
又∵个数恰是$frac{p-1}{2}$个
∴ g的偶次幂表示出了模p的所有二次剩余
又∵gk与g2*k 对应不同
∴g的奇次幂表示模p的所有的二次非剩余
Q.E.D.
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二次剩余乘法法则：QR*QR=QR，NR*QR=NR，NR*NR=NR.
根据定理2可以得出：指标为偶数（mod p)的数是模p的二次剩余，指标为奇数（mod p)的数是模p的二次非剩余。
又∵指标的乘法定理
∴QR*QR=QR，NR*QR=NR，NR*NR=NR.
Q.E.D.
欧拉准则
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a(p-1)/2≡ $left ( frac{a}{p} ight )$(mod p)
分类讨论：①若a是模p的二次剩余
则a的指标是偶数
a≡g2k(mod p)
a（p-1)/2≡gk*(p-1)≡1k≡1(mod p)
②若a是模p的二次非剩余
则a的指标是奇数
a≡g2k+1(mod p)
a（p-1)/2≡gk*(p-1)+(p-1)/2≡g(p-1)/2(mod p)
∵g是模p的原根
∴g(p-1)/2≡-1（mod p)
Q.E.D.
update：勒让德双平方数定理
对于给定的正整数N：
设$D_{1}$=（整除N且满足d≡1（mod 4）正整数d的个数）
设$D_{2}$=（整除N且满足d≡3 (mod 4)的正整数d的个数）
则将N正好表示成两个平方数（顺序不同算两种）的方案数=4（$D_{1}$-$D_{2}$）
参考资料：《数论概论》（Joseph H .silverman著 第三版）