费马小定理&欧拉定理

在p是素数的情况下，对任意整数x都有x^p≡x(mod p)。这个定理被称作费马小定理其中如果x无法被p整除，我们有x^p-1≡1(mod p)。利用这条性质，在p是素数的情况下，就很容易求出一个数的逆元。那上面的式子变形之后得到a^-1≡a^p-2(mod p)，因此可以通过快速幂求出逆元。

我们先来证明一下费马小定理：

费马小定理证明：

一、准备知识

引理1：剩余系定理2

若a,b,c为任意3个整数,m为正整数,且(m,c)=1,则当ac≡bc(mod m)时,有a≡b(mod m)
证明：ac≡bc(mod m)可得ac–bc≡0(mod m)可得(a-b)c≡0(mod m)因为(m,c)=1即m,c互质,c可以约去,a–b≡0(mod m)可得a≡b(mod m)

引理2：剩余系定理5

若m为整数且m>1,a[1],a[2],a[3],a[4],…a[m]为m个整数,若在这m个数中任取2个整数对m不同余,则这m个整数对m构成完全剩余系.
证明：构造m的完全剩余系（0,1,2,…m-1）,所有的整数必然这些整数中的1个对模m同余.取r[1]=0,r[2]=1,r[3]=2,r[4]=3,…r=i-1,1<i<=m.令(1)：a[1]≡r[1](mod m)(顺序可以不同),因为只有在这种情况下才能保证集合{a1,a2,a3,a4,…am}中的任意2个数不同余,否则必然有2个数同余.由式(1)自然得到集合{a1,a2,a3,a4,…am}对m构成完全剩余系.

引理3：剩余系定理7
设m是一个整数,且m>1,b是一个整数且(m,b)=1.如果a1,a2,a3…am是模m的一个完全剩余系,则ba[1],ba[2],ba[3],ba[4],…ba[m]也构成模m的一个完全剩余系.
证明：若存在2个整数ba和ba[j]同余即ba≡ba[j](mod m),根据引理2则有a≡a[j](mod m).根据完全剩余系的定义和引理4（完全剩余系中任意2个数之间不同余,易证明）可知这是不可能的,因此不存在2个整数ba和ba[j]同余.由引理5可知ba[1],ba[2],ba[3],ba[4],…ba[m]构成模m的一个完全剩余系.

引理4：同余定理6
如果a,b,c,d是四个整数,且a≡b(mod m),c≡d(mod m),则有ac≡bd(mod m)
证明：由题设得ac≡bc(mod m),bc≡bd(mod m),由模运算的传递性可得ac≡bc(mod m)

二、证明过程：
构造素数p的完全剩余系P={1,2,3,4…(p-1)},因为(a, p)=1,由引理3可得A={a,2a,3a,4a,…(p-1)a}也是p的一个完全剩余系.令W=1*2*3*4…*(p-1),显然W≡W(mod p).令Y=a*2a*3a*4a*…(p-1)a,因为{a,2a,3a,4a,…(p-1)a}是p的完全剩余系,由引理2以及引理4可得a*2a*3a*…(p-1)a≡1*2*3*…(p-1)(mod p)即W*a^(p-1)≡W(modp).易知(W,p)=1,由引理1可知a^(p-1)≡1(mod p）

补充：在p不是素数的情况下，我们也有类似的欧拉定理可以使用。欧拉函数是然后再有欧拉定理我们就可以得到乘法逆元。

欧拉定理：

一、准备知识：

欧拉函数：在数论中，对于正整数n，欧拉函数是小于n的数与n互质的数的数目。Φ(m)=m×П(p_i-1)/p_i

证明：先给出任意的正整数n=p₁^a[1]*p₂^a[2]*……*p_k^a[k]

然后用容斥原理，首先从总数n中减去n/p₁，n/p₂,……n/p_k的个数然后再加上同时是两个素因子的倍数的个数，再减去同时是三个素因子的倍数的个数……这样我们就可以得到一个公式：

现在有了公式，可是这个公式的时间复杂度是O(2^k),所以我们需要对其进行化简，这步并不简单，但最后可以化简出         

二、证明

a^φ(n) * x₁ * x₂ *... * x_φ(n) mod n ≡ (a * x₁) * (a * x₂) * ... * (a * x_φ(n)) mod n

≡ (a * x₁ mod n) * (a * x₂ mod n) * ... * (a * x_φ(n) mod n) mod n
≡  x₁ * x₂ * ... * x_φ(n) mod n
对比等式的左右两端，因为x_i  (1 ≤ i ≤ φ(n)) 与 n 互质，所以 a^φ(n) ≡  1 (mod n)

 证明的东西到这里大概就结束了…………

下面来说一下时间复杂度。。。。。。。。

因为整数分解可以在O(√n)之内完成，所以对于某一个的欧拉函数也可以在O(√n)时间内求得。另外，我们可以利用埃氏筛法，每次发现质因子时就把它的倍数的欧拉函数乘上(p-1)/p，这样就可以一次性求出1-n的欧拉函数表了。

首先先说一种在O(√n)的时间内求出欧拉函数的值

int euler_phi(int n){
    int res=n;
    for(int i=2;i*i<=n;i++){
        if(n%i==0){
            res=res/i*(i-1);
            for(;n%i==0;n/=i);
        }
    }
    if(n!=1)res=res/n*(n-1);
    return res;
} 

//O(n)时间筛出欧拉函数表

int n;
int euler[100]; 
void euler_phi(){
    for(int i=0;i<=n;i++)euler[i]=i;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(euler[i]==i){
            for(int j=i;j<=n;j+=i)euler[j]=euler[j]*(i-1)/i;
        }
    }
}