中国剩余定理

给定(n)个形如(x equiv a_i(mod b_i))的同余方程，求出最小正整数解。

模板题

证明

首先对于两个同余方程：
(x equiv a_1(mod b_1))
(x equiv a_2(mod b_2))
我们可以进行一次“合并”操作，将上面两个方程合并为一个同余方程：
(x equiv a_3(mod b_3))
那么如何合并呢？首先很容易可以求出(b_3=lcm(b_1,b_2))，然后我们注意到(x equiv a_1(mod b_1))，那么(x)可以写成(k*a_1+b_1)的形式，然后枚举(k)，直到满足(k*a_1+b_1 equiv a_2(mod b_2))，此时跳出循环。而注意到当(k)枚举到(a_2)的时候，再往后枚举就没有意义了，就会重复，所以如果此时还没有找到符合条件的解，就无解，退出循环即可。

证明好像非常潦草，但其实证明并不重要。

优化手段

1.由于我们要在循环里枚举(a_2)，所以一开始先判断(a_1)和(a_2)的大小关系，如果(a_1)要更小，那么交换(a_1)，(a_2)和(b_1)，(b_2)。

2.可以将(a_i)从大到小排序。（不懂为什么）

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#define ll long long
using namespace std;
ll n,ans1,ans2;
ll a[110],b[110];
ll gcd(ll x,ll y){
	if(y==0) return x;
	else return gcd(y,x%y);
}
ll lcm(ll x,ll y){
	return x/gcd(x,y)*y;
}
void merge(ll a1,ll b1,ll a2,ll b2,ll &a3,ll &b3){//合并两个同余方程
	a3=lcm(a1,a2);
	if(b1<b2){
		swap(a1,a2);
		swap(b1,b2);
	}
	for(int i=0;i<a2;i++){
		if((b1+i*a1)%a2==b2){
			b3=(b1+i*a1)%a3;
		}
	}
}
int main()
{
	scanf("%lld",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%lld%lld",&a[i],&b[i]);
	}
	ans1=1,ans2=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		merge(ans1,ans2,a[i],b[i],ans1,ans2);
	}
	printf("%lld
",ans2);
	return 0;
}