Atcoder Beginner Contest 194 题意+题解 [暂无F]

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• 题解
  • A
  • B
  • C
  • D
  • E
  • F【暂无】
• 评价

题解

A

给定参数 (A)，(B)，同时有四档分类如下：

• I 类：(A+Bge 15) 且 (Bge 8)；
• II 类：(A+Bge 10) 且 (Bge 3)；
• III 类：(A+Bge 3)；
• 其余皆为 IV 类。

求分类。

直接判定即可。

B

有两项工作，对于第 (i) 个人分别耗费 (A_i)，(B_i) 的时间。

如果一个人做两项工作，则所需时间为其和，否则为他所做的工作需要的时间，如果没有工作则为 (0)。

将这两项工作分配给 (N) 个人中的若干名，总时间为所有人耗费时间的最大值，求最小总时间。

---

前摇过长，一道细节题。

• 如果 (min {A_i}) 和 (min {B_i}) 不是同一个人，则分配给这两个最快的即可；
• 否则，就是下面三种情况的最小值：
  1. 同时分配给一个人；
  2. 将 A 工作分配给第二快的，而 B 给最快的；
  3. 将 B 给第二快的，A 给最快的。

C

给定一个长为 (N)（(2le nle 3 imes 10^5)）的序列 (A)，求：

[sumlimits_{i=2}^N sumlimits_{j=1}^{i-1} (A_i-A_j)^2 ]

是个人都知道不能暴力，所以我们拆一下式子：

[egin{aligned} sumlimits_{i=2}^N sumlimits_{j=1}^{i-1} (A_i-A_j)^2=&sumlimits_{i=2}^N sumlimits_{j=1}^{i-1} (A_i^2-2A_iA_j+A_j^2)\ =& sumlimits_{i=2}^N (i-1)A_i^2+sumlimits_{i=2}^N sumlimits_{j=1}^{i-1} A_j^2 + 2sumlimits_{i=2}^N sumlimits_{j=1}^{i-1} A_iA_j end{aligned} ]

注意到 (A_j^2) 会被 (j+1le ile n) cue 到，所以 (sumlimits_{i=2}^N sumlimits_{j=1}^{i-1} A_j^2=sumlimits_{j=1}^{N-1}(N-j)A_j^2)，和 (A_i^2) 加一起，恰好得到每一个数的平方会被算 (N-1) 次。

同时，(A_iA_j) 只需要双倍一下，就可以得到 (2sumlimits_{i=2}^N sumlimits_{j=1}^{i-1} A_iA_j=left(sum A_i ight)^2-sum A_i^2)，分别统计即可。

D

(N)（(1le Nle 10^5)）个节点，初始没有边。每一步均匀随机选择一个节点，向其连一条边并移动到此节点。求使图连通的期望步数。

易得只有一个有边的连通块，设其有 (k) 个节点。则每一步有 (dfrac{N-k}{N}) 的概率连入一个新节点，同时有 (dfrac{k}{N}) 的概率不变。最后即求：

[sumlimits_{k=1}^{N-1} sumlimits_{i=1}^infty left(dfrac{k}{N} ight)^{i-1}dfrac{(N-k)i}{N} ]

进行如下操作：

[egin{aligned} sumlimits_{k=1}^{N-1} sumlimits_{i=1}^infty left(dfrac{k}{N} ight)^{i-1}dfrac{(N-k)i}{N}=&sumlimits_{k=1}^{N-1}dfrac{N-k}{N}sumlimits_{i=1}^infty ileft(dfrac{k}{N} ight)^{i-1} end{aligned} ]

令 (X=sumlimits_{i=1}^infty ileft(dfrac{k}{N} ight)^{i-1})，则交错相减可得：

[egin{aligned} X-dfrac{kX}{N}=&sumlimits_{i=1}^infty ileft(dfrac{k}{N} ight)^{i-1}-sumlimits_{i=1}^infty ileft(dfrac{k}{N} ight)^{i}\ =&sumlimits_{i=1}^infty ileft(dfrac{k}{N} ight)^{i-1}-sumlimits_{i=2}^infty (i-1)left(dfrac{k}{N} ight)^{i-1}\ =&sumlimits_{i=0}^infty left(dfrac{k}{N} ight)^{i}\ =&dfrac{1}{1-frac{k}{N}}\ =&dfrac{N}{N-k} end{aligned} ]

即 (dfrac{(N-k)X}{N}=dfrac{N}{N-k}=dfrac{N-k}{N}sumlimits_{i=1}^infty ileft(dfrac{k}{N} ight)^{i-1})，所以，

[sumlimits_{k=1}^{N-1} sumlimits_{i=1}^infty left(dfrac{k}{N} ight)^{i-1}dfrac{(N-k)i}{N}=sumlimits_{k=1}^{N-1}dfrac{N}{N-k} ]

E

给定长为 (N)（(1le N,Mle 1.5 imes 10^6)）的序列 (A) 和 (M)，定义区间 mex 为最小的未出现过的自然数，求 (A) 中所有长度为 (M) 的连续子序列中，mex 最小值是多少。

注意到如果一个数 (A_i) 上一次出现在 (A_j) 且 (i-j+1ge M)，那么 (A_ige operatorname{mex} {(i,j)}ge ans)。同时，注意到如果一个数第一出现在 (A_t) 且 (tge M+1)，则 (A_tge operatorname{mex} {(0,t)}ge ans)。

也就是说，如果两个相同的数中间没有相同的数，且距离超过 (M)，就有可能成为最终的答案，但也有可能是在边缘处。

为了方便，我们令 (A_0) 和 (A_{N+1}) 为 (0,1,2cdots,N-1) 的叠加态，这样任何的边缘都可以被统计成一个完整的区间。

https://atcoder.jp/contests/abc194/submissions/20710494

F【暂无】

Official Editorial 介绍了一个玄学的 DP，不太理解。

评价

感觉这次难度十分不均衡。

一方面，前面的 5 题只用了不到 1h 就码完了，但 F 却卡到比赛结束都没整出来。

同时，没有大码量题，，A 不那么简洁，DE 都是性质题，还要推一下式子（害得我 LaTeX 输了好久），总体感觉不太好。

不要有借口，做不出来还不是因为蔡。