【题解】IncDec Sequence

测试链接：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3043

题目描述

给定一个长度为 (n) 的数列 ({a_i})，每次可以选择一个区间 ([l,r])，使这个区间内的数都加一或者都减一。

问至少需要多少次操作才能使数列中的所有数都一样。并求出在保证最少次数的前提下，最终得到的数列有多少种。

输入格式

第一行一个正整数 (n)。

接下来 (n) 行，每行一个整数，第 (i+1) 行的整数表示 (a_i)。

输出格式

第一行输出最少操作次数

第二行输出最终能得到多少种结果

数据范围

测试时间限制 (1000\, extrm{ms})，空间限制 (1\, extrm{GiB})。

对于 (100\%) 的数据，(nle 100000)，(0le a_i< 2^{31})。

分析

注意到这里用的是区间修改，而最后询问的是次数和方法数。我们考虑差分。

啥？不知道差分？

差分就是将一个数列 ({a_i}) 相邻两项作差，得到一个新数列 (Delta{a_i})。

对于原数列 (a_i)，构造差分数列 (Delta a_i)，答案要求的就是 (forall iin [1,n) Delta{a_i}=0)。

而题目所要求的操作，就是给差分数列加上两项后，({a_i} (0le ile n)) 中两项，一项加一，另一项减一。

最小操作次数

注意到，若 (a_i (0<i<n)) 为正，则必须要减去至少 (a_i) 次。同理，如果 (a_i (0<i<n)) 为负，则必须至少加上 (|a_i|) 次

当两个“至少”同时达到时，就是最小操作次数。

即若 (p=sumlimits_{0< i< n\a_i>0}^n a_i)，(q=sumlimits_{0< i< n\a_i<0}^n |a_i|)，则最小操作次数就是 (max(p,q))。

方案数

注意到一加一减的操作不会影响 (sumlimits_{i=0}^n a_i)，同时 (sumlimits_{i=1}^{n-1} a_i=0)，则 (a_0 + a_n) 为定值。

又因为会有 (|p-q|) 个区间有多余的操作，将这两个操作分给两个数，一共有 (|p-q|+1) 种方案。

那就是答案。

Code

#include <cstdio>
#include <cctype>
using namespace std;

typedef long long ll;

inline int read()
{
	int ch = getchar(), n = 0, t = 1;
	while (isspace(ch)) { ch = getchar(); }
	if (ch == '-') { t = -1, ch = getchar(); }
	while (isdigit(ch)) { n = n * 10 + ch - '0', ch = getchar(); }
	return n * t;
}

inline ll ab_max(ll a, ll b) { return (a > b)? a:b; }
inline ll ab_abs(ll a, ll b) { return (a > b)? a-b:b-a; }

int main()
{
	int n = read(), pre = read(), now;
	ll sum_pos = 0, sum_neg = 0;
	
	for (int i = 1; i < n; i++)
	{
		now = read();
		
		if (now > pre)
			sum_pos += now - pre;
		else if (now < pre)
			sum_neg += pre - now;
		
		pre = now;
	}
	
	printf("%lld
%lld
", ab_max(sum_pos, sum_neg), ab_abs(sum_pos, sum_neg) + 1);
	
	return 0;
}