【题解】准备

题目描述

Alien 的战舰不能搭载太多人，他需要在战舰上安装一些乘客客舱。

可以安装的客舱有 (2p) 个型号，分别能搭载 (1) 至 (2p) 个乘客，每种型号有且仅有一个。

为了方便搭载的过程，Alien 希望恰好安装 (p) 个乘客客舱，且可搭载的乘客数量和必须为 (p) 的倍数。

Alien 想知道共有几种方案？

输入格式

本题有多组数据。

第一行为数据组数 (n)；

接下来 (n) 行每行包含一个 奇质数 (p)。

输出格式

对于每组数据输出一行，表示方案数。

数据范围

测试时间限制 (500 mathrm{ms})，空间限制 (64 mathrm{MiB})。

• 对于 (30\%) 的数据，(nle 10)，(ple 10)；
• 对于 (70\%) 的数据，(nle 100)，(ple 30)；
• 对于 (100\%) 的数据 (0le nle 100)，(3le ple 1000)。

分析

这题一看就是个结论题。怎么推呢？

首先，我们将其抽象成一个数学问题：

给定集合 (S=left{k|kin mathbb{N}^{+},1le kle 2p ight})。

求出 (|T|)，其中 (T=left{S^prime|S^primesubseteq S,sumlimits_{xin S^prime}xmod{p}=0 ight})

嗯？怎么越来越不明所以了？

接下来，我们就考虑一下怎么解决。

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首先，注意到前面 (p) 个数与后面 (p) 个数等价。

又 (forall Sin T exists\, S_1,S_2 S_1cap S_2=varnothing, S_1subseteq {k|kin mathbb{N}^{+},1le kle p}, S_2subseteq {k|kin mathbb{N}^{+},p+1le kle 2p}, S_1cup S_2=S)

即给定 (S_1)，(S_2)，能得到确定的 (S)。

接下来考虑如何搭配 (S_1) 和 (S_2)。

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考虑给定 (S_1)，有多少个 (S_2) 与其配对。

由于能够影响的只有余数，下面规定 (f_i) 为 (S^primesubseteq {k|kin mathbb{N}^+, 1le kle p},sumlimits_{xin S^prime}xmod{p}=i) 的个数。

发现单独考虑并不容易，我们试图整体考虑。

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注意到选择 (f_i) 时，选择的个数不会是 (p) 的倍数（全选和不选除外）。如果对于选的每一个数加一，那么就会产生另一种选择方案，其和的余数与原方案不同。

这样进行 (p-1) 次，我们就能得到一个关于 (p) 的最小剩余系。其中只有一个方案是合法的。

也就是说，除去全选和不选的方案，剩下的所有方案是平均分的。

于是，答案实际上就是 (dfrac{dbinom{2p}{p}-2}{p}+2)

最后再套上个高精度就能解决问题了。

Code

后来，我还是放弃了高精度……实在是太烦了。

#include <cstdio>
using namespace std;

typedef long long ll;

int main()
{
	int cas, n;
	ll ans;
	
	scanf("%d", &cas);
	while (cas--)
	{
		scanf("%d", &n);
		
		ans = 1;
		for (int i = n + 1; i <= 2 * n; i++)
			ans *= i;
		for (int i = 1; i <= n; i++)
			ans /= i;
		
		printf("%d
", (ans - 2) / n + 2);
	}
	
	return 0;
}