【线型DP】洛谷P2066 机器分配
标签（空格分隔）： 线型DP
【题目】
题目描述
总公司拥有高效设备M台，准备分给下属的N个分公司。各分公司若获得这些设备，可以为国家提供一定的盈利。问：如何分配这M台设备才能使国家得到的盈利最大？求出最大盈利值。其中M≤15，N≤10。分配原则：每个公司有权获得任意数目的设备，但总台数不超过设备数M。
输入格式
第一行有两个数，第一个数是分公司数N，第二个数是设备台数M。
接下来是一个N*M的矩阵，表明了第 I个公司分配 J台机器的盈利。
输出格式
第1行为最大盈利值
第2到第n为第i分公司分x台
P.S.要求答案的字典序最小
输入输出样例
输入 #1
3 3
30 40 50
20 30 50
20 25 30
输出 #1
70
1 1
2 1
3 1
【思路】
显然是个线型动归，直接蒙上（误）转移方程就行。定义f[i][j]表示第i行共分j台时的最多利润，本题与普通的线型动归的区别在于多了一维循环。
用脑子想了一想，f[i][j]要是不转移，就是a[i][j]（原数据），f[i][j]要是转移，肯定是从这一行这个公司的前面k台的盈利值，上一行即此前算出的f[i-1][j-k]中转移过来，转移方程：f[i][j]=max(f[i-1][k]+a[i][j-k])(0<=k<=j)。
写的时候是要注意第二层循环总台数时需要倒序，防止重算。
至于后面的路径，跟普通的线型动归的路径记录差不多，看注释就行了。
【代码】
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<queue>
using namespace std;
const int maxn=50,maxe=25,INF=0x3f3f3f3f;
int n,m,a[maxe][maxe],f[maxn][maxn],path[maxn][maxe],ans;
inline int read(){
int s=0,w=1;
char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9'){
if(ch=='-')w=-1;ch=getchar();
}
while(ch>='0'&&ch<='9')s=s*10+ch-'0',ch=getchar();
return s*w;
}
int main(){
freopen("a.in","r",stdin);
n=read(),m=read();
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=m;j++){
a[i][j]=read();
}
}//普通的读入
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=m;j>=1;j--){//这里我测了一下，正序倒序都可以，因为某一行某个状态的值不影响同一行其他状态的值
f[i][j]=a[i][j];//初始化
for(int k=0;k<=j;k++){//因为题目没要求没个公司必选一件，所以要从0开始
if(f[i][j]<f[i-1][k]+a[i][j-k]){//转移，严格的小于，不能等于
f[i][j]=f[i-1][k]+a[i][j-k];//上一行（这一行以上）选取k台，那这行肯定选取j-k台
path[i][j]=k;//记录路径，path[i][j]现在处于第i行，一共选取了j台，这一行选取的台数
}
}
}
}
cout<<f[n][m]<<endl;
int now=n,k=m;
int way[maxn];
while(1){
if(now==1){
way[1]=k-path[now][k];
break;
}
way[now]=k-path[now][k];
k=path[now][k];
now--;
}
for(int i=1;i<=n;i++){
cout<<i<<" "<<way[i]<<endl;
}
}
【难点】
本道题其实难点在于字典序的处理，集中表现在三个问题
1.第三层循环是否倒序
2.k代表前一行还是这一行的台数
3.path[i][j]里面存k还是j-k
1/2:
因为答案要求我们如果有相同答案，输出字典序最小的，这就要求我们第三层循环中正序循环上一行的状态，这里k代表的上一行的断点，这样最先存的路径一定是上一行字典序小的，当然路径还是应该存上一行的（要是存本行的断点第一行的数据不对，可能是没有存）。
因此，这里还可以这样写：
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=m;j>=1;j--){
f[i][j]=a[i][j];
for(int k=j;k>=0;k--){
if(f[i][j]<f[i-1][j-k]+a[i][k]){//这一行的字典序大了，上一行的才小
f[i][j]=f[i-1][j-k]+a[i][k];
path[i][j]=j-k;
}
}
}
}
cout<<f[n][m]<<endl;
int now=n,k=m;
int way[maxn];
while(1){
if(now==1){
way[1]=k-path[now][k];
break;
}
way[now]=k-path[now][k];
k=path[now][k];
now--;
}
但是但是但是但是但是，题目的数据很水，这个数据不管上面的那三个问题都能过
2 15
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2
于是改了一下子数据：
3 15
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2
1 1 1 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3
正确输出：
6
1 1
2 10
3 4
这样的话第三层的循环就必须与k的含义以及是否取等对应了（即使你A了的话）
第二次写题解耗费这么长时间，溜了溜了.jpg