「期望」「洛谷P1297」单选错位

题目

题目描述

gx和lc去参加noip初赛，其中有一种题型叫单项选择题，顾名思义，只有一个选项是正确答案。试卷上共有n道单选题，第i道单选题有ai个选项，这ai个选项编号是1,2,3,…,ai，每个选项成为正确答案的概率都是相等的。lc采取的策略是每道题目随机写上1-ai的某个数作为答案选项，他用不了多少时间就能期望做对

道题目。gx则是认认真真地做完了这n道题目，可是等他做完的时候时间也所剩无几了，于是他匆忙地把答案抄到答题纸上，没想到抄错位了：第i道题目的答案抄到了答题纸上的第i+1道题目的位置上，特别地，第n道题目的答案抄到了第1道题目的位置上。现在gx已经走出考场没法改了，不过他还是想知道自己期望能做对几道题目，这样他就知道会不会被lc鄙视了。

我们假设gx没有做错任何题目，只是答案抄错位置了。
输入格式

n很大，为了避免读入耗时太多，输入文件只有5个整数参数n, A, B, C, a1，由上交的程序产生数列a。下面给出C/C++的读入语句和产生序列的语句（默认从标准输入读入）：

// for C/C++
scanf("%d%d%d%d%d",&n,&A,&B,&C,a+1);
for (int i=2;i<=n;i++)
a[i] = ((long long)a[i-1] * A + B) % 100000001;
for (int i=1;i<=n;i++)
a[i] = a[i] % C + 1;

选手可以通过以上的程序语句得到n和数列a（a的元素类型是32位整数），n和a的含义见题目描述。
输出格式

输出一个实数，表示gx期望做对的题目个数，保留三位小数。

样例

样例输入

3 2 0 4 1

样例输出

1.167

思路

 原题下方有一个表格，显然是误导人的，这道题如果真按着那个表格模拟，可能真写不出式子。
 对于一数列a，我们先每次处理两个数a[i]和a[i-1],很容易想到a[i]要么大于a[i-1]，要么小于a[i-1]，而他们之间有a[i]*a[i-1]种可能组合。
 a[i]大于a[i-1]时，显然期望是a[i-1]/(a[i-1]*a[i])，a[i]小于等于a[i-1]时，显然期望是a[i]/(a[i-1]*a[i])，所以i的期望为min(a[i],a[i-1])/(a[i]*a[i-1])。

代码

/*#!/bin/sh
dir=$GEDIT_CURRENT_DOCUMENT_DIR
name=$GEDIT_CURRENT_DOCUMENT_NAME
pre=${name%.*}
g++ -O2 $dir/$name -o $pre -g -Wall -std=c++11
if test $? -eq 0; then
    gnome-terminal -x bash -c "time $dir/$pre;echo;read;"
fi*/
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
const int maxn=1e5+5,INF=0x3f3f3f3f;
inline int read(){
	int s=0,w=1;
	char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){
		if(ch=='-')w=-1;ch=getchar();
	}
	while(ch>='0'&&ch<='9')s=s*10+ch-'0',ch=getchar();
	return s*w;
}
int n,A,B,C,a[maxn];
double ans=0;
int main(){
	scanf("%d%d%d%d%d",&n,&A,&B,&C,a+1);
	for (int i=2;i<=n;i++)a[i] = ((long long)a[i-1] * A + B) % 100000001;
	for (int i=1;i<=n;i++)a[i] = a[i] % C + 1;
	a[0]=a[n];
	for(int i=1;i<=n;i++)ans+=(double)min(a[i],a[i-1])/(a[i]*a[i-1]);
	
	printf("%.3lf",ans);
}