等比数列

看了这位学长的博客，所以想要记录一下其中涉及到的如何快速求等比数列的和（矩阵快速幂也可以快速求出，这里就不写了）；

链接：https://blog.csdn.net/keepcoral/article/details/80144750

假设我们现在知道了a1，q，n，叫我们求等比数列的和，如果这个和非常大，需要取模，所以我们也知道了mod。

即a1，q，n，mod是已知的。

补充一下数学知识，有时候吧我也会忘记：

an=a1*q^(n-1)，等比数列的和Sn=a1+a1*q+a1*q^2+...+a1*q^(n-1)=a1*(1+q+q^2+...+q^(n-1))=a1*(1-q^n)/(1-q);

　　　　　　　　　　　　　　　　这里主要是上面的这两个加粗的公式

在求和的时候我们先把a1提出来，咱们先算(1+q+q^2+...+q^(n-1))，这里主要是二分的思想

ll T(ll q,ll n)
{
    if(n==1)
    return 1;
    ll date=T(q,n/2)%mod;//step1
    date=(date+date*quick(q,n/2))%mod;//step2
    if(n%2)
    date=(date+quick(q,n-1))%mod;//step3
    return date;
}

我在这里再添加一个例子：假如n为15；当递归到n==1时我们回溯；

递归顺序是n=15，n=7，n=3，n=1；

我们要求1+q+q^2+q^3+...+q^14;

我们回溯（退回去）。

n==3，step1:date=1　　　　　　　　step2:date=1+q　　　　　　　　　　step3date=1+q+q^2;

n==7,  step1:date=1+q+q^2　　   　　step2:date=1+q+q^2+q^3+q^4+q^5   step3:date=1+q+q^2+q^3+q^4+q^5+q^6

太长了，偷个懒

n==15,step1:date=1+...+q^6　　　　  step2:date=1+...+q^6+...+q^13　　　step3:date=1+...+q^14;

看上面的step1，step2，step3三个过程应该可以理解了吧。

代码：

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#define mod 10000007
#define ll long long
ll n,m,k,t;
ll quick(ll a,ll b)
{
    ll ans=1;
    while(b)
    {
        if(b&1)
        ans=a*ans%mod;
        a=a*a%mod;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
ll T(ll q,ll n)
{
    if(n==1)
    return 1;
    ll date=T(q,n/2)%mod;
    date=(date+date*quick(q,n/2))%mod;
    if(n%2)
    date=(date+quick(q,n-1))%mod;
    return date;
}
int main()
{
    ll q,n,a1;
    scanf("%lld%lld%lld",&a1,&q,&n);
    ll ans=T(q,n);
    ans=ans*a1%mod;
    printf("%lld",ans);
    return 0;
 }