目录
- 素数
- 欧拉函数
- 约数
- 乘法逆元
- 欧几里得(拓展)
- 中国剩余定理
- 中国剩余定理(拓展)
- BSGS
- BSGS(拓展)
素数
例题
暴力 ((O(nsqrt{n})))
bool Prime[MAXN];
void Check(int n)
{
for (int i=1;i<=n;i++)
{
if (i<2) continue;
if (i==2||i==3)
{
Prime[i]=true;
continue;
}
for (int j=2;j<=ceil(sqrt(i));j++) if (i%j==0)
{
Prime[i]=true;
break;
}
Prime[i]=!Prime[i];
}
}
埃式筛法 ((O(nlog n)))
bool vis[MAXN];
int size,prime[MAXN];
void FindPrime(int n)
{
vis[0]=vis[1]=true;
for (int i=2;i<=n;i++) if (!vis[i])
{
prime[++size]=i;
for (int j=2;i*j<=n;j++) vis[i*j]=true;
}
}
欧拉筛法 ((O(n)))
bool vis[MAXN];
int size,prime[MAXN];
void FindPrime(int n)
{
vis[0]=vis[1]=true;
for (int i=2;i<=n;i++)
{
if (!vis[i]) prime[++size]=i;
for (int j=1;j<=size&&i*prime[j]<=n;j++)
{
vis[i*prime[j]]=true;
if (i%prime[j]==0) break;
}
}
}
欧拉函数
直接求 (phi) ((n)) ((O(sqrt{n})))
int FindPhi(int n)
{
int ans=n;
for (int i=2;i*i<=n;i++)
{
if (n%i==0)
{
ans-=ans/i;
while (n%i==0) n/=i;
}
}
if (n>1) ans-=ans/n;
return ans;
}
同时求 (phi) ((1)) 到 (phi) ((n))时与 (1) 到 (n) 的素数 ((O(n)))
bool vis[MAXN];
int size,Prime[MAXN],Phi[MAXN];
void Find_Phi_and_Prime(int n)
{
for (int i=2;i<n;i++)
{
if (!vis[i])
{
Prime[++size]=i;
Phi[i]=i-1;
}
for (int j=1;j<=size&&i*Prime[j]<n;j++)
{
vis[i*Prime[j]]=true;
if (i%Prime[j]==0)
{
Phi[i*Prime[j]]=Phi[i]*Prime[j];
break;
}
else Phi[i*Prime[j]]=Phi[i]*(Prime[j]-1);
}
}
}
约数
例题
辗转相除法
int GCD(int a,int b)
{
if (b==0) return a;
return GCD(b,a%b);
}
二进制算法
int GCD(int x,int y)
{
int i,j;
if (x==0) return y;
if (y==0) return x;
for (i=0;(x&1)==0;i++) x>>=1;
for (j=0;(y&1)==0;j++) y>>=1;
if (j<i) i=j;
while (1)
{
if (x<y) x^=y,y^=x,x^=y;
if ((x-=y)==0) return y<<i;
while ((x&1)==0) x>>=1;
}
}
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct Data
{
int a[2005];
int num;
};
char c[10005];
void div2(Data &x)
{
if (x.a[x.num]==1)
{
x.a[x.num-1]+=10000000;
x.num--;
}
for (int i=x.num;i>=1;i--)
{
if (x.a[i]&1) x.a[i-1]+=10000000;
x.a[i]>>=1;
}
}
void plus2(Data &x)
{
for (int i=1;i<=x.num;i++) x.a[i]<<=1;
for (int i=1;i<x.num;i++)
{
if (x.a[i]>=10000000)
{
x.a[i]-=10000000;
x.a[i+1]++;
}
}
if (x.a[x.num]>=10000000)
{
x.a[x.num]-=10000000;
x.a[x.num+1]=1;
x.num++;
}
}
void sub(Data &x,Data y)
{
for (int i=1;i<=y.num;i++) x.a[i]-=y.a[i];
for (int i=1;i<x.num;i++)
{
if (x.a[i]<0)
{
x.a[i+1]--;
x.a[i]+=10000000;
}
}
if (x.a[x.num]==0) x.num--;
}
bool comp(Data &x,Data &y)
{
if (x.num>y.num) return false;
if (x.num<y.num)
{
swap(x.num,y.num);
for (int i=1;i<=max(x.num,y.num);i++) swap(x.a[i],y.a[i]);
return false;
}
for (int i=x.num;i>=1;i--)
{
if (x.a[i]>y.a[i]) return false;
if (x.a[i]<y.a[i])
{
swap(x.num,y.num);
for (int i=1;i<=max(x.num,y.num);i++) swap(x.a[i],y.a[i]);
return false;
}
}
return true;
}
int main()
{
Data n,m;
int stop,x,y,t,cnt;
scanf("%s",c);
for (int i=strlen(c)-1;i>=0;i-=7)
{
n.num++;
n.a[n.num]=0;
stop=max(i-6,0);
for (int j=i;j>=stop;j--) n.a[n.num]+=(c[j]-'0')*pow(10,i-j);
}
scanf("%s",c);
for (int i=strlen(c)-1;i>=0;i-=7)
{
m.num++;
m.a[m.num]=0;
stop=max(i-6,0);
for (int j=i;j>=stop;j--) m.a[m.num]+=(c[j]-'0')*pow(10,i-j);
}
for (x=0;!(n.a[1]&1);x++) div2(n);
for (y=0;!(m.a[1]&1);y++) div2(m);
if (y<x) x=y;
while (1)
{
if (comp(n,m))
{
while(x--) plus2(n);
printf("%d",n.a[n.num]);
for (int i=n.num-1;i>=1;i--)
{
t=n.a[i];
cnt=0;
while (t/10) t/=10,cnt++;
for (int i=1;i<7-cnt;i++) printf("0");
printf("%d",n.a[i]);
}
return 0;
}
sub(n,m);
while (!(n.a[1]&1)) div2(n);
}
return 0;
}
乘法逆元
例题
代码
long long exgcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y)
{
if (b==0)
{
x=1,y=0;
return a;
}
long long r=exgcd(b,a%b,x,y);
long long t=x;
x=y;
y=t-(a/b)*y;
return r;
}
long long fastpow(long long a,long long b,long long p) //a^b%p
{
if (b==0) return 1;
if (b==1) return a%p;
long long half=fastpow(a,b/2,p);
if (b&1) return ((half%p*half%p)%p*a)%p;
return (half%p*half%p)%p;
}
int main()
{
//...
long long x=fastpow(a,b-2,b);
//...
}
-
线性算法求 (1) 到 (n) 模 (b) 的逆元 ((O(n)))
inv[1]=1;
for (int i=2;i<=n;i++)
inv[i]=(p-p/i)*inv[p%i]%p;
欧几里得(拓展)
代码
long long exGCD(long long a,long long b,long long &x,long long &y)
{
if (b==0)
{
x=1,y=0;
return a;
}
long long r=exGCD(b,a%b,x,y);
long long t=x;
x=y;
y=t-(a/b)*y;
return r;
}
中国剩余定理
例题
代码
long long CRT(void)
{
long long M=1,ans=0;
for (int i=1;i<=n;i++) M*=m[i];
for (int i=1;i<=n;i++)
{
long long tM=M/m[i];
long long x,y;
exgcd(tM,m[i],x,y);
ans=(ans+tM*x*a[i])%M;
}
return (ans+M)%M;
}
中国剩余定理(拓展)
例题
代码
long long exCRT(void)
{
long long M=m[1],ans=b[1],x,y,g,t,k1;
for (int i=2;i<=n;i++)
{
g=exgcd(M,m[i],x,y);
if ((b[i]-ans)%g) return -1;
k1=x*(b[i]-ans)/g;
t=m[i]/g;
x=(k1%t+t)%t;
ans=M*x+ans;
M=M/g*m[i];
}
return (ans%M+M)%M;
}
BSGS
例题
代码
long long BSGS(long long a,long long b,long long p)
{
a%=p,b%=p;
if (a==0)
{
if (b==0) return 0;
return -1;
}
map <long long,long long> M;
M.clear();
long long temp=b,m=ceil(sqrt(p));
for (int i=0;i<=m;i++,temp=temp*a%p) M[temp]=i;
temp=a=fastpow(a,m,p);
for (int i=1;i<=m;i++,temp=temp*a%p) if (M.count(temp)) return i*m-M[temp];
return -1;
}
BSGS(拓展)
例题
代码
long long inv(long long a,long long p)
{
long long x,y,ans;
exgcd(a,p,x,y);
return (x%p+p)%p;
}
long long exBSGS(long long a,long long b,long long p)
{
if (b==1||p==1) return 0;
long long x,y,g,k=0,na=1;
while (g=exgcd(a,p,x,y))
{
if (g==1) break;
if (b%g) return -1;
k++;
b/=g;
p/=g;
na=na*(a/g)%p;
if (na==b) return k;
}
long long ans=BSGS(a,b*inv(na,p)%p,p);
if (ans==-1) return -1;
return ans+k;
}