一.算法的数学基础

一.算法相关的数学公式

1. 换底公式：(log_AB=frac{log_cB}{log_CA})
   证明：设(z=log_AB, x=log_cB,y=log_CA)，则(A^Z=B,C^X=B,C^Y=A =>{C^Y}^Z=C^X=>YZ=X,)所以(z=frac{X}{Y}),即(log_AB=frac{log_cB}{log_CA})
2. 模同余定理
   （1）两个数A与B，如果他们除以C后的余数相同，则称A和B模同余。记为(Aequiv B(mod N))
   （2）模同余的条件也可记为：A与B的差整除C
3. 级数公式
   （1）(sumlimits_{i=0}^{n}2^i=2^{n+1}-1)
   （2）(sumlimits_{i=0}^{n}A^i=frac{A^{n+1}-1}{A-1})
   （3）当公式2中,(0<A<1)，则(sumlimits_{i=0}^{n}A^ileq frac{1}{1-A})

二. 函数相对增长率

1. 相对增长率描述了2个函数之间的关系，是函数间的相对级别
2. 函数关系的4个定理：
   （1）定理1：有2个函数(T(N))和(f(N))，若存在正数c和(n_0)，使得当(Ngeq n_0)时，(T(N) leq cf(N))，则称(T(N)=O(f(n)))
   （2）定理2：有2个函数(T(N))和(f(N))，若存在正数c和(n_0)，使得当(Ngeq n_0)时，(T(N) geq cf(N))，则称(T(N)=Omega(f(n)))
   （3）定理3：若两个函数(T(N))和(f(N))之间的关系是(T(N)=Omega(f(n)))或(T(N)=O(f(n)))，则称(T(N)=Theta(f(n)))
   （4）定理4：有2个函数(T(N))和(f(N))，若存在正数c和(n_0)，使得当(N> n_0)时，(T(N)<cf(N))，则称(T(N)=o(f(n)))
3. 要证明(T(N)=O(f(n)))，通常不需要证明过程，而是利用一些已知的结果。当(T(N)=O(f(n)))时，可以保证(T(N))在以不快于(f(n))的速率增长
4. 我们可以通过计算极限(limlimits_{N ightarrow+infty}frac{f(N)}{g(N)})来确定2个函数的相对增长率

三.运行时间计算

1. 算法的运行时间是一种粗略估计，是对(O(f(n)))的估计值。因此，产生了一些估计算法运行时间的法则
   （1）for循环运行时间：for循环内部语句的运行时间乘以循环次数
   （2）顺序语句运行时间：将各个语句的执行时间求和。eg:(O(n^2)+O(n)=O(n^2))
   （3）if/else语句：if(condition){s1}else{s2} 运行时间为condition判断时间 + s1/s2语句执行的时间
   （4）递归函数的时间复杂度