数据表示和计算

第二章 数据表示和计算

1，1 进制的转换

1. 十进制转换为二进制
   （1）除2取余法（整数部分）
   对十进制的数不断除2求余，直到商为0。先求得的余数是二进制的低位
   ((327)_{10})转换：转换为 ((101000111)_2)

   第n次除2后的商	余数

   | 163 |   1|
    |81       | 1|
    |40          |1|
    |20           |0|
    |10            |0|
    |5             |0|
    |2       |1|
    |1        |0|
    |0              |1|
   

（2）减权定位法（整数部分）
一个数减去2的几次方，用余数再次减去2的几次方
((327)_{10})转换：

|减权|定位|
|:----------:|:-----:|
   | 327  -  256  = 71 |   1|
    |71  <  128          | 0|
    |71 -64 = 7           |1|
    |7  <  32             |0|
    |7  <  16             |0|
    |7  <  8              |0|
    |7  -  4  =  3        |1|
    |3 - 2  =  1          |1|
    |1-1=0                |0|

（3）乘2取整法
把小数不断地乘2，取每次结果的整数，直到结果为1
((0.8125)_{10} 转换为 (0.11.1)_2)

|乘2|取整|
|:-----:|:--------------:|
|0.8125 * 2 = 1.625 |1|
|0.625 * 2 = 1.25|1|
|0.25 * 2 = 0.5|0|
|0.5 * 2  = 1.0| 1|

1.2 真值和机器数

1. 真值：正负号+某进制数绝对值的形式称为真值

2. 机器数：符号位用0表示正号，-1表示符号

3. BCD码表示十进制数
   （1）8421码
           十进制中的每一位数字分别用8421(4bit)表示。eg：63表示为8421码
           6（0110）3（0011）
   （2）2421码
           十进制中的每一位数字用2421(4bit)表示
           6（1100）3（1001）
   （3）余3码
           每一位十进制数对应的二进制都加上011
           6（1001）3（0110）
   （4）BCD码的计算
           BCD码的计算，把每4位二进制分为一组，组与组之间进行运算，逢十进一。
           和小于9的时候不调整：
           和大于9的时候加6 ((0110)_2)进行修正

4. 汉字的显示
   （1）汉字在屏幕上使用点阵显示，采用1616的点阵。每个点采用1或者0表示是否点亮，所以一个汉字需要占用显存162byte

5. 奇偶校验

6. 汉明码校验（适合信道良好的环境）
   （1）主存和cpu进行数据交换时，检测数据交换的是否正确，能检测出一位出错，并能知道是哪一位出错。
   （2）主要是通过检测第2^i位置，1的个数是偶数还是奇数
   （3）数据位m位，校验位k位，只要2^k>m+k+1即可
   （4）编码步骤：
           a) 数据位 -> 计算出检测位多少位（2^k>m+k+1）
           b) 计算机校验位公式
           c) 算出检测位的值

7. CRC校验
   （1）在硬盘和主机进行数据交换时校验
   （2）解决的问题：
           a）数据位是n位要增加多少位的校验位呢？校验位个数和数据位个数无关
           b）通讯双方有一个约定：生成多项式（k+1位），k是校验位的位数
           c）由数据位和生成多项式产生CRC编码
   （3）数据位和生成多项式是已知的，要产生CRC编码，只有校验位不知道。产生校验位的方法就是模二计算
   （4）模二计算：没有进位也没有借位的计算（有加减乘除的模二计算），模二加减法运算相当于异或操作，相同的数相加为0，不同的数相加为1
   （5）校验码就是用模二除法计算得来
   （6）如何生成CRC码

   （1）设数据位m(x)为100占3位，约定生成多项式g(x)100占3位
   （2）则校验位占2位，就是说模二除法的余数占2位
   （3）用数据位m(x)除以生成多项式g(x)得到余数r(x)
   （4）过程：因为余数占2位，所以把数据位向左移动2位。m(x)x^k,即数据位编程10000，
   接着，用100000模二除以101，得到商101，余数01，即r(x)=01,得到CRC编码为m(x)x^k + r(x)，即最终的CRC校验码为10000+01=10001，所以发送的10001比特位在接收端除以生成多项式的余数为0，表示传输没错 。
   （5）公式上的推导：
        (frac{m(x)*x^k}{g(x)} = Q(x)，r(x)) //Q(x)是商，r(x)是余数
        所以(m(x)*x^k = g(x)*Q(x)+r(x))
        而CRC码：$m(x)x^k + r(x) = g(x)Q(x) + r(x) + r(x) $
        /** 因为r(x)和r(x)是模二加运算，所以相加后为0，消去了r(x) **/
        最终CRC码变成了g(x)*Q(x)，到对方当校验的时候，CRC码除以g(x)就不会有余数

   （6）CRC的检错：所有位的都能知道是哪一位出错，也只能知道一位
           eg：设数据位m(x)=1100，生成多项式G(x)为1011，求产生的CRC码
           （a）生成多项式1011，是4位，所以余数位（产生的校验位）为3位，
           （b）数据位左移三位，变成1100000，模二除1011，得到商1110，余数010
           （c）CRC码：1100010
   （7）纠错：
           设CRC码的第7位传输出错，则CRC变成1100001。 此时，除以生成多项式得到余数001。
           设CRC码的第6位传输出错，则CRC变成1100000。 此时，除以生成多项式得到余数010。
           而这个010，恰恰是第7位传输出错后的余数001，后面补一位0后除以1011的
           （a）反过来想，CRC的纠错功能，要让每一位传输出错后，除以多项式的余数都不同，所以如果数据为4位，余数的位数要满足4+n+1<2^n,此时n=3（4+n后面还要加1是因为1代表没有出错的情况）。所以生成多项式要有4位
           （b）余数；如果001补两个0，的道德余数就是第5位出错的余数，循环的意义在与此：在计算出错位数除以生成多项式产生的余数时，可以先计算一个最低位出错后产生的余数，之后比他高一位的位传输错误产生的余数就可以用循环补0除以多项式的方法计算。所以g(x)不好选，要构成这种循环。
           （c）根据这种循环计算出错位产生的余数方法，就行成了一个出错位对应产生余数的表。有了这个表，接收端计算后发现传输的数据有余数时，就能知道是哪一位出错了，也就有了纠错的功能。
           （d）发现对应位出错，就把该位置的数据取反。电路实现上，不能在每一位数据加上一个非门，这样硬件成本太高。
           而是采用，只有一个非门，改变数据的时候，只需把数据循环移位，将出错的位置移到第一位，非门改变第一位数据后，再次循环移位成原来的顺序
   （8）生成多项式的产生要满足检错纠错的功能