51nod 1610 路径计数(数论+容斥+拓扑+Floyd)

分析：gcd的问题可以考虑用容斥原理做，注意到y<=100，只需要枚举不超过100的数k，算出图中有多少条边权是k的倍数的路径，然后容斥一下即可。关键在于怎么算路径条数。

可以考虑用dp，记dp[i][j][k]为从i到j路径值为k倍数的路径数，dp[i][j][k]=∑dp[c][j][k]，c满足存在从i到c的边且边权为k的倍数。为了快速处理dp，先预处理出拓扑序和不超过100的数的因子以及各点是否能到达。

更新时，先删掉路径值为v的因子的路径，再重新加上y即可，总的复杂度为O(n^3+n*m*√y+T*n^2*√y)。

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int maxn=105,p=1000000007;
typedef long long ll;
struct Edge{
    int s,t,v;
};
Edge edge[50005];
int e[maxn][50005],factor[maxn][100],connect[maxn][maxn];
int countedge=0,counte[maxn],countfactor[maxn],countconnect[maxn];
int dp[maxn][maxn][maxn],mu[maxn],topo[maxn],countside[maxn][maxn],in[maxn];
bool d[maxn][maxn];
int n,m,ans=0,sum[maxn];
void Caldp(){
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int k=1;k<=100;k++)
            dp[i][i][k]=1;
    }
    for(int a=0;a<n;a++){
        int i=topo[a];
        for(int j=1;j<=n;j++){
            for(int h=0;h<counte[i];h++){
                Edge &_e=edge[e[i][h]];
                for(int b=0;b<countfactor[_e.v];b++){
                    int &v=factor[_e.v][b];
                    dp[i][j][v]=(dp[i][j][v]+dp[_e.t][j][v])%p;
                }
            }
        }
    }
}
void Depose(){
    for(int i=1;i<=100;i++){
        for(int j=i;j<=100;j+=i){
            factor[j][countfactor[j]++]=i;
        }
    }
}
void Floyd(){
    for(int i=1;i<=n;i++)
        d[i][i]=true;
    for(int k=1;k<=n;k++){
        for(int i=1;i<=n;i++){
            for(int j=1;j<=n;j++){
                d[i][j]=d[i][j]||(d[i][k]&&d[k][j]);
            }
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=n;j++){
            if(d[i][j])
                connect[i][countconnect[i]++]=j;
        }
    }
}
void Topo(){
    int t=n;
    while(t){
        for(int i=1;i<=n;i++){
            if(in[i])continue;
            topo[--t]=i;
            in[i]=5e5+5;
            for(int j=1;j<=n;j++){
                in[j]-=countside[i][j];
            }
        }
    }
}
void CalMu(){
    mu[1]=1;
    int p[25]={2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97};
    for(int i=0;i<25;i++){
        mu[p[i]]=-1;
    }
    for(int i=2;i<=100;i++){
        for(int j=0;j<25&&p[j]<=i;j++){
            if(i%p[j]==0){
                if(i%(p[j]*p[j])==0)mu[i]=0;
                else
                    mu[i]=-mu[i/p[j]];
            }
        }
    }
}
void Updata(int x,int y){
    int k=edge[x].v;
    for(int l=0;l<countfactor[k];l++){
        int v=factor[k][l];
        for(int i=1;i<=n;i++){
            if(!d[i][edge[x].s])continue;
            for(int h=0;h<countconnect[i];h++){
                int j=connect[i][h];
                if(i==j||!d[edge[x].t][j])
                    continue;
                dp[i][j][v]=(dp[i][j][v]-(ll)dp[i][edge[x].s][v]*dp[edge[x].t][j][v])%p;
                sum[v]=(sum[v]-(ll)dp[i][edge[x].s][v]*dp[edge[x].t][j][v])%p;
            }
        }
    }
    edge[x].v=y;
    for(int l=0;l<countfactor[y];l++){
        int v=factor[y][l];
        for(int i=1;i<=n;i++){
            if(!d[i][edge[x].s])continue;
            for(int h=0;h<countconnect[i];h++){
                int j=connect[i][h];
                if(i==j||!d[edge[x].t][j])
                    continue;
                dp[i][j][v]=(dp[i][j][v]+(ll)dp[i][edge[x].s][v]*dp[edge[x].t][j][v])%p;
                sum[v]=(sum[v]+(ll)dp[i][edge[x].s][v]*dp[edge[x].t][j][v])%p;
            }
        }
    }
    ans=0;
    for(int i=1;i<=100;i++){
        ans=(ans+mu[i]*sum[i])%p;
    }
    ans=(ans+p)%p;
}
int main(){
    //freopen("e:\in.txt","r",stdin);
    //freopen("e:\out.txt","w",stdout);
    memset(d,0,sizeof(d));
    memset(countside,0,sizeof(countside));
    memset(in,0,sizeof(in));
    memset(counte,0,sizeof(counte));
    memset(countfactor,0,sizeof(countfactor));
    memset(countconnect,0,sizeof(countconnect));
    Depose();
    CalMu();
    Edge ee;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=0;i<m;i++){
        scanf("%d%d%d",&ee.s,&ee.t,&ee.v);
        edge[countedge++]=ee;
        e[ee.s][counte[ee.s]++]=i;
        d[ee.s][ee.t]=true;
        countside[ee.s][ee.t]++;
        in[ee.t]++;
    }
    Floyd();
    Topo();
    Caldp();
    for(int k=1;k<=100;k++){
        sum[k]=0;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            for(int j=1;j<=n;j++){
                if(i==j)continue;
                sum[k]=(sum[k]+dp[i][j][k])%p;
            }
        }
    }
    for(int i=1;i<=100;i++){
        ans=(ans+mu[i]*sum[i])%p;
    }
    ans=(ans+p)%p;
    printf("%d
",ans);
    int t,x,y;
    scanf("%d",&t);
    while(t--){
        scanf("%d%d",&x,&y);
        Updata(x-1,y);
        printf("%d
",ans);
    }
    return 0;
}