GF(2^8)乘法优化

利用指数表和对数表，实现GF(2^8)的乘法优化。

首先利用简单的基础的GF(2^8)乘法，构造指数表和对数表。在这里选取生成元3。

指数表exp[i] = 3^i，对数表log[i] = log₃(i)。

要实现x 与 y 相乘，首先利用对数表找出3^m = x, 3^n = y，这时的乘法就是 x * y = 3^m * 3^n = 3^(m+n)，然后利用指数表找到exp[m+n]对应的值。

因此所有的乘法都变成了查表操作，提高了效率。但是对于数域较大时，保存对数表和指数表的空间要求较高。典型的牺牲空间换取时间。

#include<iostream>
#include<fstream>
using namespace std;
unsigned char exp[256];         //exp[i] = 3^i
unsigned char log[256];         //log[i] = log3(i)

unsigned char GFmul(unsigned char a, unsigned char b){
    //GF(2^8) 乘法
    unsigned char result = 0;
    if((b&1) == 1)result = a;
    b >>= 1;
    for(int i = 1; i < 8; i ++){
        if(a > 127){
            a = (a << 1) ^ 0x1b;
        }
        else{
            a <<= 1;
        }
        if((b&1) == 1){
            result ^= a;
        }
        b >>= 1;
    }
    return result;
}
void generateMulTab(){
    //选择生成元3作为构造乘法表的基础
    const int N = 3;
    unsigned char tmp = 1;
    for(int i = 1; i < 256; i ++){
        tmp = GFmul(tmp, N);
        exp[i] = tmp;
        log[tmp] = i;
    }
}
unsigned char GFfastMul(unsigned char x, unsigned char y){
    //利用exp和log来查表实现乘法
    if(x == 0 || y == 0)return 0;
    //x = 3^m, y = 3 ^ n;   x * y = 3^m * 3^n = 3^(m+n)
    int m = log[x], n = log[y];
    return exp[(m+n)>255?(m+n-255):(m+n)];
}

int main(){
    //单元测试，乘法打表
    generateMulTab();
    int count[256];
    for(int i = 0; i < 256; i ++)count[i] = 0;
    unsigned char x, y;
    x = 0;
    do{
        y = 0;
        do{
            count[GFfastMul(x, y)] ++;
            y ++;
        }while(y != 0);
        x ++;
    }while(x != 0);
    ofstream write("Test.txt");
    for(int i = 0; i < 256; i ++)write<<i<<"	"<<count[i]<<endl;
    write.close();
    return 0;
}