51nod 1118 机器人走方格

M * N的方格，一个机器人从左上走到右下，只能向右或向下走。有多少种不同的走法？由于方法数量可能很大，只需要输出Mod 10^9 + 7的结果。

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输入

第1行，2个数M,N，中间用空格隔开。（2 <= m,n <= 1000)

输出

输出走法的数量。

输入样例

2 3

输出样例

3
动态规划代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#define MAX 1000
#define DMAX 10000
#define MOD 1000000007
using namespace std;
typedef long long ll;
int m,n;
ll dp[MAX + 1][MAX + 1];

int main() {
    scanf("%d%d",&m,&n);
    dp[1][1] = 1;
    for(int i = 1;i <= m;i ++) {
        for(int j = 1;j <= n;j ++) {
            dp[i][j] += dp[i][j - 1] + dp[i - 1][j];
            dp[i][j] %= MOD;
        }
    }
    printf("%lld",dp[m][n]);
}

可以用组合数，因为在每个位置要么选择横着走，要么选择竖着走，我们发现横着跨越的边或者竖着跨越的边的数量是一定的，分别是n - 1和m - 1，所以我们只需要把横着跨越的位置选好，或者把竖着的选好，剩下的就是横着走的了。

1,1  1,2  1,3  1,4

2,1  2,2  2,3  2,4

3,1  3,2  3,3  3,4

如上，我们先把竖着跨越的选好，显然选m-1=2个，第一个选1,2->2,2吧，第二选2,4->3,4这样我们需要连接n-1=3条边，1,1->1,2,2->2,3,2,3->2,4，横的竖的只要有一个选好了，另一个就定下了，所以只需要计算其中一个选择有几种情况即可。总的需要走n+m-2步，即需要跨越这么多个格子的边界，具体把哪几步分配给横着（竖着）走，可以用组合数来完成，而这里数据大需要取模，组合数有分子分母，取模要用到逆元。

组合代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#define MAX 1000
#define DMAX 10000
#define MOD 1000000007
using namespace std;
typedef long long ll;
int m,n;
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y) {
    if(b == 0) {
        x = 1,y = 0;
        return a;
    }
    int g = exgcd(b,a % b,y,x);
    y -= a / b * x;
    return g;
}
int c(int x,int y) {
    ll ans = 1;
    int a,b;
    for(int i = y;i > y - x;i --) {
        ans = (ans * i) % MOD;
    }
    for(int i = 2;i <= x;i ++) {
        exgcd(i,MOD,a,b);
        a = (a + MOD) % MOD;
        ans = (ans * a) % MOD;
    }
    return ans;
}
int main() {
    scanf("%d%d",&m,&n);
    printf("%d",c(min(m - 1,n - 1),n + m - 2));
}

 可以用卢卡斯定理专门求组合数。

lucas代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#define MAX 1000000
#define DMAX 1000000
#define MOD 1000000007
using namespace std;
typedef long long ll;
int m,n;
ll pow_mod(ll a,ll b,ll p) {///quick_pow
    ll ans = 1;
    while(b) {
        if(b % 2) ans = (ans * a) % p;
        a = (a * a) % p;
        b >>= 1;
    }
    return ans;
}
ll c(ll a,ll b,ll p) {///c(b,a)
    ll ans = 1,temp = 1;
    for(int i = 0;i < b;i ++) {
        ans = (ans * (a - i)) % p;
        temp = (temp * (b - i)) % p;
    }
    temp = pow_mod(temp,p - 2,p);///变成逆元 费马定理
    ans = (ans * temp) % p;
    return ans;
}
ll lucas(ll a,ll b,ll p) {//main
    ll ans = 1;
    while(a && b) {
        ans = (ans * c(a % p,b % p,p)) % p;
        a /= p;
        b /= p;
    }
    return ans;
}
int main() {
    scanf("%d%d",&m,&n);
    printf("%d",lucas(n + m - 2,n - 1,MOD));
}