AtCoder Grand Contest #026 C

Time Limit: 3 sec / Memory Limit: 1024 MB

Score : $600600$ points

Problem Statement

You are given a string $\mathrm{SS}$ of length $\mathrm{2N2N}$ consisting of lowercase English letters.

There are ${\mathrm{22N22N}}^{}$ ways to color each character in $\mathrm{SS}$ red or blue. Among these ways, how many satisfy the following condition?

• The string obtained by reading the characters painted red from left to right is equal to the string obtained by reading the characters painted blue from right to left.

Constraints

• $\mathrm{1\le N\le 181\le N\le 18}$
• The length of $\mathrm{SS}$ is $\mathrm{2N2N}$.
• $\mathrm{SS}$ consists of lowercase English letters.

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Input

Input is given from Standard Input in the following format:

$\mathrm{NN}$
$\mathrm{SS}$

Output

Print the number of ways to paint the string that satisfy the condition.

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4
cabaacba

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4

There are four ways to paint the string, as follows:

• cabaacba
• cabaacba
• cabaacba
• cabaacba

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Sample Input 2 Copy

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11
mippiisssisssiipsspiim

Sample Output 2 Copy

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504

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Sample Input 3 Copy

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4
abcdefgh

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0

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Sample Input 4 Copy

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18
aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa

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9075135300

The answer may not be representable as a $3232$-bit integer.

如果直接暴力是O(2^2n)的复杂度，肯定超时，测试样例就可以直接测试出超时i，所以要缩短复杂度，这道题很巧妙，可以把字符串分为两半，这样复杂度就是O(2^n)的了，为什么要分为两部分呢？

先回到题目要求，题目要求就是把字符串分为相等的两个字符串（当然不是从中部分开），一部分从左往右选取n个，一部分从右往左选取n个，这两个字符串相等。

对照第一个样例，可以设这两个字符串为a（红色）和ra（蓝色），把原字符串从中部分开，左边包含蓝色和红色，右边也包含蓝色和红色，a和ra（倒序选取的）是相等的，所以a在左边的部分等于ra在右边的部分，a在右边的部分等于ra在左边的部分，caba acba，a的左边部分是"c",ra的右边部分也是"c",a的右边部分是"aba",ra的左边部分也是"aba",其实很好想象，如果存在a和ra相等，那么一定满足这个规律，左右两半的长度都为n，a和ra的长度也为n，如果a在左边的长度as(<=n)，那么左边剩下的（n - as）个字符组成的反向字符串肯定是和a在右边的剩余部分相等的，首先长度肯定是相等，其次内容，因为a和ra都是按照顺序选取并组合的字符串，所以内容肯定也是相等的。因此可以建立一个状态pair<a,ra>，左右状态是相同的就是满足的。

这样只需要记录左边的状态，状态相同的算到一起，红色和蓝色的顺序是无关的，比如caaa acaa和caaa acaa，左边状态是相同的，所以再看右部遇到状态相同的，只需要加上左边相同状态的个数就可以了，遍历直接按照二进制位计算就可以了，区间[0,1<<n)。

c++代码：

#include <map>
#include <iostream>
using namespace std;
typedef pair<string,string> pa;
int main() {
    int n;
    long long ans = 0;
    string s;
    map<pa,int> mp;
    cin>>n>>s;
    for(int i = 0;i < 1 << n;i ++) {
        string a = "";
        string b = "";
        for(int j = 0;j < n;j ++) {
            if(i >> j & 1)a += s[j];///二进制位为1 属于a串
            else b += s[j];///二进制位为0 属于ra串
        }
        mp[pa(a,b)] ++;///记录状态个数
    }
    for(int i = 0;i < 1 << n;i ++) {
        string a = "";
        string b = "";
        for(int j = 0;j < n;j ++) {
            if(i >> j & 1)a += s[n * 2 - 1 - j];///二进制位为1 属于a串
            else b += s[n * 2 - 1 - j];///二进制位为0 属于ra串
        }
        ans += mp[pa(a,b)];///加上匹配的状态个数
    }
    cout<<ans;
}

java代码：

import java.util.*;
class Pair<V,K>{
    V first;
    K second;
    public Pair() {first = null;second = null;}
    public Pair(V f,K s){
        first = f;
        second = s;
    }
    public boolean equals(Object o) {
        if(!(o instanceof Pair))
        {
            return false;
        }
        Pair<V,K> pn = (Pair<V,K>)o;
        return pn.first.equals(first) && pn.second.equals(second);
    }
    public int hashCode() {
        return first.hashCode() + second.hashCode();
    }
}
public class Main {
    
    public static void main(String[] args) {
        Scanner in = new Scanner(System.in);
        long ans = 0;
        int n = in.nextInt();
        String s = in.next();
        String aa = null,bb = null;
        Map<Pair<String,String>,Integer> map = new HashMap();
        for(int i = 0;i < 1 << n;i ++) {
            StringBuilder a = new StringBuilder();
            StringBuilder b = new StringBuilder();
            for(int j = 0;j < n;j ++) {
                if((i >> j) % 2 == 1)a.append(s.charAt(j));
                else b.append(s.charAt(j));
            }
            aa = a.toString();
            bb = b.toString();
            if(map.containsKey(new Pair(aa,bb)))map.put(new Pair(aa,bb),map.get(new Pair(aa,bb)) + 1);
            else map.put(new Pair(aa,bb),1);
        }
        for(int i = 0;i < 1 << n;i ++) {
            StringBuilder a = new StringBuilder();
            StringBuilder b = new StringBuilder();
            for(int j = 0;j < n;j ++) {
                if((i >> j) % 2 == 1)a.append(s.charAt(n * 2 - 1 - j));
                else b.append(s.charAt(n * 2 - 1 - j));
            }
            aa = a.toString();
            bb = b.toString();
            if(map.containsKey(new Pair(aa,bb)))ans += map.get(new Pair(aa,bb));
        }
        System.out.println(ans);
    }
}