【模版】线性筛（素数,欧拉函数,莫比乌斯函数）

线性筛:

线性筛是一种比较实用的筛法，它与数论中的（完全）积性函数密切相关：

（完全）积性函数的定义：对于两个整数 $ x_1 $ 和 $ x_2 $ ，若有函数 $ f(x) $ 满足： $ f(x_1x_2)=f(x_1)f(x_2) $ ，我们称 $ f(x) $ 为完全积性函数；特殊的：若 $ x_1 $ 和 $ x_2 $ 一定为两个互质的正整数，我们称 $ f(x) $ 为积性函数！

而线性筛就是利用了这一性质，将 $ f(x) $ 用且只用 $ x $ 最小的那个质因子利用 $ f(x_1x_2)=f(x_1)f(x_2) $ 将它算出来，这样就能避免许多重复情况。

然后讲一下我们最基础的筛素数吧：

线性筛素数:

虽然素数不是什么积性函数，但它和我们的思路一致：将某个合数用且只用它最小的质因子筛掉。

#define rg register int
vector<int> prime;
bool pr[100005];

inline void _prime(int n){//求n以内的素数
	for(rg i=2;i<=n;++i) pr[i]=1;
	for(rg i=2;i<=n;++i){
		if(pr[i])prime.push_back(i);//没筛掉说明它是素数
    for(rg j=0;j<prime.size();++j){
			if(i*prime[j]>n)break;//剪枝
			pr[i*prime[j]]=0;
			if(!(i%prime[j]))break;//保证用且只用最小的质因子把它筛去
		}
    }return ;
}

线性筛欧拉函数 $ (phi) $ ：

欧拉函数( $ phi $ )定义： $ phi (x) $ 表示比 $ x $ 小的与 $ x $ 互质的数的个数（ $ phi(1)=1 $ ）

性质1 ：对于质数 $ x $ 显然有： $ phi(x)=x-1 $

性质 2：对于质数 $ x $ 显然有： $ phi(2 imes x)=phi(x) $

性质 3：与费马小定理： $ a^{ϕ(m)}≡1(mod $ $ m) $ （费马小定理要求 $ m $ 是质数，而 $ ϕ(m) $ 就是 $ m-1 $ ）

性质 4：对于质数 $ p $ ：若 $ i $ $ mod $ $ p $ $ == $ $ 0 $ 则有： $ phi(i imes p)=phi(i) imes p $ （此时 $ i $ 和 $ p $ 不互质，但 $ p $ 是质数，所以去掉所有 $ p $ 的倍数即可，这里要仔细想一想）

性质 5：对于质数 $ p $ ：若 $ i $ $ mod $ $ p $ $ != $ $ 0 $ 则有： $ phi(i imes p)=phi(i) imes (p-1) $ （此时 $ i $ 和 $ p $ 互质，用积性函数定义式）

利用性质4和性质5，我们可以将欧拉函数和质数一起筛：

#define rg register int
vector<int> prime;
int phi[100005];//phi数组可以用来判断负数的

inline void _phi(int n){
	phi[1]=1;
	for(rg i=2;i<=n;++i){
		if(!phi[i])phi[i]=i-1,prime.push_back(i);
		for(rg j=0;j<prime.size();++j){
			if(i*prime[j]>n)break;
			if(!(i%prime[j])){
				phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];//性质4
				break;//这个if用得真的很妙的！
			}else phi[i*prime[j]]=phi[i]*phi[prime[j]];//性质5
		}
    }return ;
}

线性筛莫比乌斯函数 $ (mu) $ ：

莫比乌斯函数通俗定义：

1）莫比乌斯函数 $ μ(n) $ 的定义域是N

$ μ(1)=1 $

3）当n存在平方因子时， $ μ(n)=0 $

4）当n是素数或奇数个不同素数之积时， $ μ(n)=-1 $

5）当n是偶数个不同素数之积时， $ μ(n)=1 $

即：

利用性质4和性质5，我们可以将莫比乌斯函数和质数一起筛：

#define rg register int
vector<int> prime;
int mu[100005];
bool use[100005];

inline void _mu(int n){
	mu[1]=1;
	for(rg i=2;i<=n;++i){
		if(!use[i])mu[i]=-1,prime.push_back(i);
		for(rg j=0;j<prime.size();++j){
			if(i*prime[j]>n)break;
			use[i*prime[j]]=1;
			if(!(i%prime[j])) break;
			else mu[i*prime[j]]=-mu[i];
		}
    }return ;
}