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  • LCS的几种求法

    $ LCS: $

    对于两个长度均为 $ N $ 的数列 $ A $ 和 $ B $ ,存在一个数列 $ C $ 使得 $ C $ 既是 $ A $ 的子序列有事 $ B $ 的子序列,现在需要求这个数列的最长的长度,这就是最长公共子序列。



    $ solutionquad 1: $

    这道题是世界上最经典的DP题之一,我们可以知道我们做需要求的子序列中的任意一个元素在 $ A $ 和 $ B $ 中都存在,所以我们可以设出状态即 $ F[i][j] $ 表示我们已经匹配了 $ A $ 的前 $ i $ 位和 $ B $ 的前 $ j $ 位所得到的最长公共子序列。这样是很好写转移方程的:

    $ F[i][j]=max{F[i-1][j-1]+[A[i]==B[j]]quad ,quad F[i-1][j] quad ,quad F[i][j-1] } $

    $ codequad 1: $

    #include<iostream>
    using namespace std;
    int f[1001][1001],a[2001],b[2001],n,m;
    int main(){
        cin>>n>>m;
        for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
        for(int i=1;i<=m;i++)scanf("%d",&b[i]);
        for(int i=1;i<=n;i++)
    		for(int j=1;j<=m;j++){
    			f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i][j-1]);
    			if(a[i]==b[j]) f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-1]+1);
    		}
        cout<<f[n][m];
    }
    


    $ solutionquad2 : $

    还有一种 $ nlogn $ 的算法,它的思路很奇妙,我们用数列 $ A $ 将数列 $ B $ 里的元素离散化,就是把数列 $ B $ 里的元素在改为这个元素在数列 $ A $ 中的位置(显然我们首先还要把两个数列中不公共的元素删除)。然后我们发现只要是此时数列 $ B $ 中的上升子序列,就是两个数列的公共子序列。于是题目就变成了最长上升子序列。

    然后我们回顾一下之前讲的LIS(最长上升子序列)的三种经典求法,就不难写出这道题目了!

    然后有一个需要注意的地方:这两个数列的元素可能出现重复(不过这应该不影响我们的算法),只是我们离散化时还要考虑一下相同元素的顺序。这里放的代码对应洛谷P1439 【模板】最长公共子序列 (博主用的方法对应上一章最长上升子序列的第三种求法)


    $ codequad 2: $

    #include<iostream>
    #include<cstdio>
    #include<iomanip>
    #include<algorithm>
    #include<cstring>
    #include<cmath>
    #include<cstdlib>
    #include<queue>
    #include<stack>
    #include<vector>
    #include<map>
    #include<set>
    
    #define ll long long
    #define db double
    #define inf 0x7fffffff
    #define rg register int
    
    using namespace std;
    
    int a[100001];
    int b[100001];
    int n,top,l,r,mid;
    
    inline int qr(){
        char ch;
        while((ch=getchar())<'0'||ch>'9');
        int res=ch^48;
        while((ch=getchar())>='0'&&ch<='9')
            res=res*10+(ch^48);
        return res;
    }
    
    int main(){
        //freopen(".in","r",stdin);
        //freopen(".out","w",stdout);
        n=qr();
        for(rg i=1;i<=n;++i) b[qr()]=i;
        for(rg i=1;i<=n;++i) a[i]=b[qr()];
        for(rg i=1;i<=n;++i){
            l=1;r=top;
            while(l<=r){
                mid=(l+r)>>1;
                if(b[mid]<=a[i]){
                    l=mid+1;
                    continue;
                }r=mid-1;
            } b[l]=a[i];
            if(l>top)++top;
        }printf("%d
    ",top);
        return 0;
    }
    
    
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