POJ-1390-Blocks （复杂区间DP）

$ POJ~1390~~Blocks: $ （很难想的区间DP）

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$ solution: $

很好的一道题目。看起来似乎很简单，当时一直认为可以用二维区间DP来完成，转移 $ n^3 $ 。 后来发现如果用二维表示当前状态，转移可以说无路可走。因为可能存在原本不相邻的多个区间最后是一起消除的。所以我们需要保留下来某一段重复的区间做为我们的一个新的维度。

或者说，（存在原本不相邻的多个区间最后是一起消除的）这个过程也是可以从后向前消除，只是保留最后的一段相同区间，先消掉它前面的区间，比如12131这个数列，我们可以先将3消掉，使两个1到一块来：1211，然后再消掉2，使剩下的一个1也合拢来:111。于是我们考虑在原有维度上加一维，它保留最后一段区间的信息，但是我们就需要同时记录颜色和长度，这不是一个维度能干的事，所以我们换一种方式：

注：出于贪心，也为了方便做题，我们先将数列里连续相同的一段合并，用 $ b[i] $ 表示其长度

设 $ f[i][j][k] $ 表示区间 $ [i,j] $ 并且后面有连续k个格子的颜色和 $ j $ 号格子相同。这时，转移就会相对容易些：

1. 将后面的连续k个格子的颜色和 $ j $ 号格子合并： $ f[i][j][k]=f[i][j-1][0]+(b[j]+k)^2 $
2. 枚举 $ [i,j) $ 内的一个格子 $ x $ ，这个格子需与 $ j $ 号格子颜色一致，然后消掉这个格子与 $ j $ 号格子之间的格子： $ f[i][j][k]=f[i][x][b[j]+k+1]+f[x+1][j-1][0] $

然后我们发现这个题目转移只涉及了 $ f $ 数组，所以我们可以用记忆化搜索（递归）处理。

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$ code: $

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<iomanip>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>

#define ll long long
#define db double
#define rg register int

using namespace std;

int t,tt,n,m;
int a[205],b[205];
int f[205][205][205];
int d[205][205][205];

inline int qr(){
	register char ch; register bool sign=0; rg res=0;
	while(!isdigit(ch=getchar()))if(ch=='-')sign=1;
	while(isdigit(ch))res=res*10+(ch^48),ch=getchar();
	if(sign)return -res; else return res;
}

inline int dfs(int x,int y,int z){
	if(y<x)return 0; if(x==y)return (b[x]+z)*(b[x]+z);
	if(d[x][y][z]==tt)return f[x][y][z];
	f[x][y][z]=dfs(x,y-1,0)+(z+b[y])*(z+b[y]);
	for(rg i=x;i<y;++i){
		if(a[i]!=a[y])continue;
		f[x][y][z]=max(f[x][y][z],dfs(x,i,b[y]+z)+dfs(i+1,y-1,0));
	}return d[x][y][z]=tt,f[x][y][z];
}

int main(){
	//freopen(".in","r",stdin);
	//freopen(".out","w",stdout);
	t=qr();
	while(++tt<=t){
		n=qr(); m=0;
		for(rg i=1;i<=n;++i,++b[m])
			if((a[m+1]=qr())!=a[m])++m,b[m]=0;
		printf("Case %d: %d
",tt,dfs(1,m,0));
	}
	return 0;
}