01 背包
有n 种不同的物品，每个物品有两个属性，size 体积，value 价值，现在给一个容量为 w 的背包，问最多可带走多少价值的物品。
1 for (int i=0; i<n; i++) 2 for (int j=w; j>=size[i]; j--) 3 f[j] = max(f[j], f[j-size[i]]+value[i]);
完全背包
如果物品不计件数，就是每个物品不只一件的话，稍微改下即可
1 for (int i=0; i<n; i++) 2 for (int j=size[i]; j<=w; j++) 3 f[j] = max(f[j], f[j-size[i]]+value[i]);
f[w] 即为所求
初始化分两种情况：
1、如果背包要求正好装满则初始化 f[0] = 0, f[1~w] = -INF;
2、如果不需要正好装满 f[0~v] = 0;
举例：
01背包
V=10，N=3，c[]={3,4,5}, w={4,5,6}
（1）背包不一定装满
计算顺序是：从右往左，自上而下：因为每个物品只能放一次，前面的体积小的会影响体积大的
（2）背包刚好装满
计算顺序是：从右往左，自上而下。注意初始值，其中-inf表示负无穷
完全背包：
V=10，N=3，c[]={3,4,5}, w={4,5,6}
（1）背包不一定装满
计算顺序是：从左往右，自上而下： 每个物品可以放多次，前面的会影响后面的
（2）背包刚好装满
计算顺序是：从左往右，自上而下。注意初始值，其中-inf表示负无穷
多重背包：
多重背包问题要求很简单，就是每件物品给出确定的件数，求可得到的最大价值
多重背包转换成 01 背包问题就是多了个初始化，把它的件数C 用二进制分解成若干个件数的集合，这里面数字可以组合成任意小于等于C的件数，而且不会重复，之所以叫二进制分解，是因为这样分解可以用数字的二进制形式来解释
比如：7的二进制 7 = 111 它可以分解成 001 010 100 这三个数可以组合成任意小于等于7 的数，而且每种组合都会得到不同的数
15 = 1111 可分解成 0001 0010 0100 1000 四个数字
如果13 = 1101 则分解为 0001 0010 0100 0110 前三个数字可以组合成 7以内任意一个数，即1、2、4可以组合为1——7内所有的数，加上 0110 = 6 可以组合成任意一个大于6 小于等于13的数，比如12，可以让前面贡献6且后面也贡献6就行了。虽然有重复但总是能把 13 以内所有的数都考虑到了，基于这种思想去把多件物品转换为，多种一件物品，就可用01 背包求解了。
看代码：
int n; //输入有多少种物品 int c; //每种物品有多少件 int v; //每种物品的价值 int s; //每种物品的尺寸 int count = 0; //分解后可得到多少种物品 int value[MAX]; //用来保存分解后的物品价值 int size[MAX]; //用来保存分解后物品体积 scanf("%d", &n); //先输入有多少种物品，接下来对每种物品进行分解 while (n--) //接下来输入n中这个物品 { scanf("%d%d%d", &c, &s, &v); //输入每种物品的数目和价值 for (int k=1; k<=c; k<<=1) //<<右移 相当于乘二 { value[count] = k*v; size[count++] = k*s; c -= k; } if (c > 0) { value[count] = c*v; size[count++] = c*s; } }
定理：一个正整数n可以被分解成1,2,4,…,2^(k-1),n-2^k+1（k是满足n-2^k+1>0的最大整数）的形式，且1～n之内的所有整数均可以唯一表示成1,2,4,…,2^(k-1),n-2^k+1中某几个数的和的形式。
证明如下：
（1） 数列1,2,4,…,2^(k-1),n-2^k+1中所有元素的和为n，所以若干元素的和的范围为：[1, n]；
（2）如果正整数t<= 2^k – 1,则t一定能用1,2,4,…,2^(k-1)中某几个数的和表示，这个很容易证明：我们把t的二进制表示写出来，很明显，t可以表示成n=a0*2^0+a1*2^1+…+ak*2^（k-1），其中ak=0或者1，表示t的第ak位二进制数为0或者1.
（3）如果t>=2^k,设s=n-2^k+1，则t-s<=2^k-1，因而t-s可以表示成1,2,4,…,2^(k-1)中某几个数的和的形式，进而t可以表示成1,2,4,…,2^(k-1)，s中某几个数的和（加数中一定含有s）的形式。
（证毕！）
现在用count 代替 n 就和01 背包问题完全一样了
杭电2191题解：此为多重背包用01和完全背包：
#include<stdio.h> #include<string.h> int dp[102]; int p[102],h[102],c[102]; int n,m; void comback(int v,int w)//经费，重量。完全背包； { for(int i=v; i<=n; i++) if(dp[i]<dp[i-v]+w) dp[i]=dp[i-v]+w; } void oneback(int v,int w)//经费，重量；01背包； { for(int i=n; i>=v; i--) if(dp[i]<dp[i-v]+w) dp[i]=dp[i-v]+w; } int main() { int ncase,i,j,k; scanf("%d",&ncase); while(ncase--) { memset(dp,0,sizeof(dp)); scanf("%d%d",&n,&m);//经费，种类； for(i=1; i<=m; i++) { scanf("%d%d%d",&p[i],&h[i],&c[i]);//价值，重量，数量; if(p[i]*c[i]>=n) comback(p[i],h[i]); else { for(j=1; j<c[i]; j<<1) { oneback(j*p[i],j*h[i]); c[i]=c[i]-j; } oneback(p[i]*c[i],h[i]*c[i]); } } printf("%d ",dp[n]); } return 0; }