[DFS]排队（间隔排列）-C++

Description

小Q是班长。在校运动会上，小Q班要进行队列表演。小Q要选出2*N名同学编队，每人都被编上一个号，每一个从1到N的自然数都被某2名同学佩戴，现在要求将他们排成一列，使两个编号为1的同学中间恰好夹1名同学，两个编号为2的同学中间恰好夹2名同学，……，两个编号为N的同学中间恰好夹N名同学，小Q希望知道这样的排法能否实现。

Input

输入文件仅包括一行，即要处理的N。N<=13

Output

输出有多少种排列顺序.

Sample Input

3

Sample Output

2

先理解一下题目，题目中所述，每一个从1到N的自然数都被某2名同学佩戴，说明共有2N名同学，两个编号为N的同学中间恰好夹N名同学，就可以得到一个排列（以n==3为例）：

然后，就可以用DFS搜索了。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int n,ans=0;
int flag[100]={0};

void dfs(int dep){
	
	if(dep>n){
		ans++;
		return ;
	}
	for(int i=1;i<=2*n-dep-1;i++){
		if(!flag[i]&&!flag[i+dep+1]){//考虑当前位置有无其他数，和它的间隔有没有其他数
			flag[i]=flag[i+dep+1]=1;
			dfs(dep+1);
			flag[i]=flag[i+dep+1]=0;
		}
	}
}
int main(){
	cin >> n;
	dfs(1);
	cout << ans;
	
	return 0;
}

但是，可以发现，当程序运行12或13时，耗时很长，那么就可以想到剪枝优化。

	if(n%4==1||n%4==2){
		return ; 
	}

现在，就可以证明一下这个剪枝的得到。
设问题的一个解为a1+a2···+an,a1表示1。
那么可以得到a1+a2+…+an+(a1+1+1)+(a2+2+1)+…+(an+n+1)，最后解得4(a1+a2+…+an)=n(3n-1)，所以n%41或n%42无解。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int n,ans=0;
int flag[100]={0};

void dfs(int dep){
	
	if(n%4==1||n%4==2){
		return ; 
	}
	if(dep>n){
		ans++;
		return ;
	}
	for(int i=1;i<=2*n-dep-1;i++){
		if(!flag[i]&&!flag[i+dep+1]){
			flag[i]=flag[i+dep+1]=1;
			dfs(dep+1);
			flag[i]=flag[i+dep+1]=0;
		}
	}
}
int main(){
	cin >> n;
	dfs(1);
	cout << ans;
	
	return 0;
}