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  • hdu-1695 GCD (莫比乌斯反演)

    题意:

    求 x 在[1, n]范围内,y 在[1, m]范围内的满足 gcd(x, y) = k 的x,y对数。

    题解:
    • 如果f(k) 表示题目范围内gcd(x, y)=k 的对数,但是这个f(k)比较"难求"。我们发现gcd(x,y) %k == 0的x,y对数却很好求。我们先用 F(k) 表示 gcd(x,y) % k == 0 的对数。这时就想能不能用F(k) 去求 f(k)。毕竟 (F(k) = sum_{k|d} f(d)) 这就可以用莫比乌斯反演公式得到

      [f(k) = sum_{k|d} mu(frac{d}{k})F(d) ]

      [f(k) = sum_{k|d} mu(frac{d}{k}) lfloorfrac{n}{d} floor lfloorfrac{m}{d} floor ]

      我们遍历所有d(d是k的倍数)去求和。因为如果(gcd(x,y) = 1),则(gcd(k*x,k*y) = k) 所以我们可以用上式求f(1)

      [f(1) = sum_{d=1}^{lim} mu(d) lfloorfrac{n}{d} floor lfloorfrac{m}{d} floor ]

      因为k*x<=n, k * y <= m。所以lim = min(n/k, m/k)

      复杂度O(n)。

    #include<iostream>
    #include<cstdio>
    #include<cstring>
    #include<algorithm>
    #include<cmath>
    using namespace std;
    typedef long long ll;
    const int N = 1e6 + 5;
    
    int T, k, a, b, c, d;
    int pri[N], cnt;
    int mu[N];
    int vis[N];
    
    void prime(){
        mu[1] = 1;
        for(int i = 2; i <= 4e5; ++ i){
            if(!vis[i]){
                pri[++ cnt] = i;
                mu[i] = -1;
            }
            for(int j = 1; j <= cnt && pri[j] * i <= 4e5; ++ j){
                vis[pri[j] * i] = 1;
                if(i % pri[j] == 0){
                    mu[pri[j] * i] = 0;
                    break;
                }
                mu[pri[j] * i] = -mu[i];
            }
        }
    }
    
    
    int main()
    {
        prime();
        scanf("%d",&T);
        for(int Case = 1; Case <= T; ++ Case){
            scanf("%d%d%d", &b, &d, &k);
            if(!k){
                printf("0
    ", Case);
                continue;
            }
            b /= k, d /= k;
            if(b > d) swap(b, d);
            ll ans = 0, ans1 = 0;
            for(int i = 1; i <= b; ++ i) ans += (ll)mu[i] * (b / i) * (d / i);
            for(int i = 1; i <= b; ++ i) ans1 += (ll)mu[i] * (b / i) * (b / i);
            ans -= ans1 / 2;
            printf("%lld
    ", ans);
        }
        return 0;
    }
    

    题解博客: https://blog.csdn.net/litble/article/details/72804050?depth_1-utm_source=distribute.pc_relevant.none-task&utm_source=distribute.pc_relevant.none-task

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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/A-sc/p/12626444.html
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