Codeforces E94 F. x-prime Substrings (AC自动机 + dp)

Codeforces E94 F. x-prime Substrings (AC自动机 + dp)

参考博客

题意：

给一个字符串s (仅由数字1~9构成) 和数x. 令$f(l,r) $ 表示 字符串l 到 r 位的数之和。同时定义 x-prime 为(f(l_{1}, r_{1}) = x) 且不存在(l_{2}, r_{2}) 同时满足以下要求

• (l_{1} le l_{2} le r_{2} le r_{1}) ;
• (f(l_{2}, r_{2}) != x)
• x 可以被 (f(l2, r2)) 整除

问最少删除几个字符，使得字符串s不含x-prime.

题目大意：删除最少字符，使得字符串如果一个区间和等于x，不存在子区间和 val 能整除x且 val != x。

题解：

前置题目：HDU2457

首先可以看到x很小，那完全可以dfs把所有不满足题意的字符串 (即含有x-prime) 都打表打出来。然后用这些字符串建AC自动机，然后在AC自动机上进行dp就可以了。

为什么要这样做呢？这个问题做了hdu2457就能理解。这里主要讲一下dp过程。

为什么用不满足的字符串建AC自动机： 其实用不满足的字符串建AC自动机，然后在”匹配“时只要不接触AC自动机带标记的点，那么这个不满足的串一定无法在s串中匹配上，那s串就是满足的串。

DP讲解：用dp[i] [j]表示处理到s串第 i 位，此时AC自动机上对应 j 结点时为满足题意删除的最小数量。 那么我们现在肯定要根据已知的状态推 i + 1各个状态的答案。分两种情况。

• 1 把i + 1位字符删掉，相当与在状态(i, j)基础上 i + 1 , 但AC自动机上当前对应的节点还是 j 没有变。删除数加1。 状态转移方程 ： (dp[i + 1][j] = min(dp[i + 1][j], dp[i][j] + 1) ​)
• 2 不删除i + 1 位字符，那么在(i, j) 基础上只能i + 1, j只能在AC自动机上 j 节点下面的和s[i] 相同的节点移动。状态转移方程：(dp[i + 1][v] = min(dp[i + 1][v], dp[i][j])) 。 其中 (v = nxt[j][s[i] - '0'])

代码：

//2020/8/27/22:41
//AC自动机 + dp

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<map>
#include<queue>
#include<vector>
#include<string>
#include<fstream>
using namespace std;
#define rep(i, a, n) for(int i = a; i <= n; ++ i);
#define per(i, a, n) for(int i = n; i >= a; -- i);
typedef long long ll;
const int N = 1e3 + 10;
const int M = 5e3 + 10;
const int mod = 998244353;
const double Pi = acos(- 1.0);
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int G = 3, Gi = 332748118;
ll qpow(ll a, ll b) { ll res = 1; while(b){ if(b & 1) res = (res * a) % mod; a = (a * a) % mod; b >>= 1;} return res; }
ll gcd(ll a, ll b) { return b ? gcd(b, a % b) : a; }
bool cmp(int a, int b){return a > b;}
//

struct Aho{
    int nxt[M][30] ,fail[M], mark[M];
    int size;
    
    queue<int> que;
    void init(){
        while(que.size()) que.pop();
        memset(nxt, 0, sizeof(nxt));
        memset(fail, 0, sizeof(fail));
        memset(mark, 0, sizeof(mark));
        size = 0;
    }
    
    //建立trie树
    void Insert(char *S){
        int n = strlen(S);
        int now = 0;
        for(int i = 0; i < n; ++ i){
            // cout<<S[i];
            int id = S[i] - '0';
            if(!nxt[now][id]) nxt[now][id] = ++ size;
            now = nxt[now][id];
        }
        mark[now] = 1;
        // cout<<endl;
    }
    
    //建立fail指针
    void Build(){
        fail[0] = -1; 
        for(int i = 0; i < 10; ++ i){
            if(nxt[0][i]) que.push(nxt[0][i]);
        }
        while(que.size()){
            int u = que.front(); que.pop();
            for(int j = 0; j < 10; ++ j){
                int v = nxt[u][j];
                if(!v) nxt[u][j] = nxt[fail[u]][j];
                else{
                    que.push(v);
                    fail[v] = nxt[fail[u]][j];
                    mark[v] |= mark[fail[v]];
                }
            }
        }
    }
}aho;

char s[M], t[M];
int n, x;
int dp[N][M];

void dfs(int sum, int dep){
    // cout<<sum<<" "<<dep<<endl;
    if(sum > x) return;
    if(sum == x){
        t[dep] = 0;
        for(int i = 0; i < dep; ++ i){
            int val = 0;
            for(int j = i; j < dep; ++ j){
                val += t[j] - '0';
                if(sum % val == 0 && sum != val) return;
            }
        }
        aho.Insert(t);
    }
    for(int i = 1; i < 10; ++ i){
        t[dep] = i + '0';
        dfs(sum + i, dep + 1);
    }
}

int main()
{
    scanf("%s%d",&s,&x);
    aho.init();
    dfs(0, 0);
    aho.Build();
    memset(dp, 0x3f, sizeof(dp));
    dp[0][0] = 0;
    n = strlen(s);
    for(int i = 0; i < n; ++ i){
        for(int j = 0; j <= aho.size; ++ j){
            if(dp[i][j] < INF){
                dp[i + 1][j] = min(dp[i + 1][j], dp[i][j] + 1);
                int v = aho.nxt[j][s[i] - '0'];
                if(aho.mark[v]) continue;
               dp[i + 1][v] = min(dp[i + 1][v], dp[i][j]);
            }
        }
    }
    int res = INF;
    for(int i =  0; i <= aho.size; ++ i){
        res = min(res, dp[n][i]);
    }
    printf("%d
",res);
    return 0;
}