LOJ#2718. 「NOI2018」归程 (kruskal重构树)
题意： 在无向图中，每条边的属性不仅有距离，还有海拔。有Q次询问，每次给出两个值v,p表示一个人从v点出发回到家(家在1点)，且世界的海平面海拔是P。也就是小于p的路都在水中。现在这个人可以开车走一段路直到遇到低于海平面的路，他就丢弃车开始步行回家，问给定v,p条件下这个人回家最少需步行的距离。
题解：
这道题很不错。首先我发现不考虑海拔，每个点x回家的最小距离是从1到x的最短路。故可以求Dijkstra(1)，然后把海拔低于p的路理解成断路，图分成许多联通块。O(n)求与v在一个联通图中的所有点 x 的 dis[x]的最小值就是答案。这个方法是正确的，但复杂度O(Q*n) 爆炸了。。
所以我开始想方法在合适的复杂度内求这个联通块内的dis[x]最小值，最后没想出来，看题解学习了kurskal重构树这一“神奇”操作。
利用kruskal重构树的性质，从每个叶子点到根权值是单调的，如果我们按照海拔从大到小建树，那么两个点的lca点的权值val[lca]就是这两个点路径上的最低海拔的最大值。如果对一点 u 有 val[u] > p，那么这个u 的子树里的叶子中任意两个点之间的路径的边都大于p。也就是这个 u 的子树叶子上的点 在原图中把小于等于p的边断掉后的图中和v在一个联通图中。
所以如果我们在建树时让每个点u的d[u]表示子树d[]的最小值 。那么当我们找到这个u 点时就可以O(1)输出答案了。
如何找这个点u呢？ 我们可以利用求lca得f[][]数组, 如下程序
for(int j = 20; j >= 0; -- j)
if(f[v][j] && val[f[v][j]] > p)
v = f[v][j];
代码：
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<map>
#include<queue>
#include<vector>
#include<string>
#include<bitset>
#include<fstream>
using namespace std;
#define rep(i, a, n) for(int i = a; i <= n; ++ i);
#define per(i, a, n) for(int i = n; i >= a; -- i);
typedef long long ll;
typedef pair<ll,int> PII;
const int N = 2e6 + 105;
const int mod = 1e9 + 7;
const double Pi = acos(- 1.0);
const ll INF = 1e18;
const int G = 3, Gi = 332748118;
ll qpow(ll a, ll b) { ll res = 1; while(b){ if(b & 1) res = (res * a) % mod; a = (a * a) % mod; b >>= 1;} return res; }
ll gcd(ll a, ll b) { return b ? gcd(b, a % b) : a; }
// bool cmp(int a, int b){return a > b;}
//
int n, m, t;
int head[N], cnt = 0, tot;
int to[N << 1], nxt[N << 1]; ll c[N << 1];
int root[N << 1];
int f[N][30];
int dep[N << 1];
queue<int> q;
ll val[N << 1];
void add(int u, int v, ll w){
to[cnt] = v, c[cnt] = w, nxt[cnt] = head[u], head[u] = cnt ++;
to[cnt] = u, c[cnt] = w, nxt[cnt] = head[v], head[v] = cnt ++;
}
int Find(int x){
return x == root[x] ? x : root[x] = Find(root[x]);
}
struct node{
int u, v; ll w, h;
}e[N << 1];
bool cmp(node a, node b){
return a.h > b.h;
}
//Dijkstra板子
ll d[N << 1];
void Dijkstra(int st)
{
priority_queue<PII, vector<PII>, greater<PII> > q;
for(int i = 1; i <= n * 2 + 1; ++ i) d[i] = INF;
d[st] = 0;
q.push(PII(0, st));
while(!q.empty()){
int u = q.top().second; ll w1 = q.top().first; q.pop();
if(w1 != d[u]) continue;
for(int i = head[u]; i != -1; i = nxt[i]){
int v = to[i]; ll w2 = c[i];
if(d[u] + w2 < d[v]){
d[v] = d[u] + w2;
q.push(PII(d[v], v));
}
}
}
}
void Build_Kruskal(){ //建重构树
sort(e + 1, e + m + 1, cmp);
int Count_Edge = 0;
for(int i = 1; i <= m; ++ i){
int x = e[i].u, y = e[i].v; ll z = e[i].h;
int tx = Find(x), ty = Find(y);
if(tx == ty) continue;
root[tx] = root[ty] = ++ tot;
val[tot] = z;
d[tot] = min(d[ty], d[tx]);
f[tx][0] = f[ty][0] = tot;
if( (++ Count_Edge) == n - 1) break;
}
}
int main()
{
freopen("return.in","r",stdin); //注意加读写文件重定向。
freopen("return.out","w",stdout);
int T;
scanf("%d",&T);
while(T --){
scanf("%d%d",&n,&m);
cnt = 0; tot = n;
for(int i = 0; i <= n * 2 + 10; ++ i){
root[i] = i; head[i] = -1;
}
memset(f, 0, sizeof(f));
for(int i = 1; i <= m; ++ i){
scanf("%d%d%lld%lld", &e[i].u, &e[i].v, &e[i].w, &e[i].h);
add(e[i].u, e[i].v, e[i].w);
}
Dijkstra(1);
Build_Kruskal();
for (int j=1; j<=20; ++j)
for (int i=1; i<=tot; ++i)
f[i][j] = f[f[i][j-1]][j-1];
int Q, K, S; int v; ll p;
scanf("%lld%lld%lld",&Q,&K,&S);
ll ans = 0;
while(Q --){
scanf("%d%lld",&v, &p);
v = (v + K * ans - 1) % n + 1;
p = (p + K * ans) % (S + 1);
for(int j = 20; j >= 0; -- j)
if(f[v][j] && val[f[v][j]] > p) v = f[v][j];
ans = d[v];
printf("%lld
",ans);
}
}
return 0;
}