前缀和应用

题目链接：https://ac.nowcoder.com/acm/contest/999/A

题意：给定一个矩阵上有N个点，然后给出每个点的坐标与其权值，问一个边长为r的正方形框最大程度可以框住的范围内所有点权值之和的最大值。

知识点：二维前缀和

介绍:

• 一维前缀和就是一种思想，直接贴代码

s[i][j] = s[i - 1][j] + s[i][j - 1] - s[i - 1][j - 1]

• 二维前缀和就是相当于拓展到了矩阵上，即点(x,y)的左上角元素之和就是s[x][y]。
• 求法：我们实际要求的就是红色范围内的值，可以通过容斥原理来求得，即红 = 总-蓝白-黑白+白。

• 代码就是

s[i][j] = s[i - 1][j] + s[i][j - 1] - s[i - 1][j - 1]

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 顺带介绍一下差分

• 差分实际上经常与前缀和一起出现，因为差分与前缀和是互逆的运算
• 假设有数组a,b,c，其中，a是原数组，b是前缀和数组，c是差分数组
• 那么b是a的前缀和、a是c的前缀和。
• 即a[i] = c[1] + …… + c[i];
• 用一个函数实现该操作

//一维差分
void insert(int l, int r, int w)//l表示插入区间的左端点，r表示右端点,w表示值
{
    c[l] += w;
    c[r + 1] -= w;
}

//二维差分
void insert(int x1, int y1, int x2, int y2, int c)
{
    b[x1][y1] += c;
    b[x1][y2 + 1] -= c;
    b[x2 + 1][y1] -= c;
    b[x2 + 1][y2 + 1] += c;
}

• 然后是本题代码

• #include <bits/stdc++.h>
  using namespace std;
  const int maxn = 5010;
  
  int g[maxn][maxn];
  
  int main()
  {
      ios::sync_with_stdio(false);
      int n, r;   cin >> n >> r;
      int N = r, M = r;//用此判断边界，因为有可能最大值都没有r大，我们就先初始化为r
      for(int i = 1, x, y, w; i <= n; i++)
      {
          cin >> x >> y >> w;
          x++;    y++;//习惯用1开始的下标，使用前缀和会更顺手
          g[x][y] += w;
          N = max(N, x);  M = max(M,y);
      }
      for(int i = 1; i <= N; i++)
          for(int j = 1; j <= M; j++)
              g[i][j] = g[i][j] + g[i - 1][j] + g[i][j - 1] - g[i - 1][j - 1];//在这里没有多开数组，直接用g表示前缀和
      int res = 0;
      for(int i = r; i <= N; i++)
          for(int j = r; j <= M; j++)
              res = max(res, g[i][j] - g[i - r][j] - g[i][j - r] + g[i - r][j - r]);
      cout << res << endl;
      return 0;
  }