Stirling数

第一类(Stirling)数

(egin{bmatrix} n \ m \ end{bmatrix})表示(n)个元素组成(m)个圆排列的方案数。

何为圆排列？即通过排列在一个环上，两两不能通过旋转相互得到的排列的个数。

[egin{bmatrix} n \ m \ end{bmatrix}=egin{bmatrix} n-1 \ m-1 \ end{bmatrix}+(n-1)cdot egin{bmatrix} n-1 \ m \ end{bmatrix} ]

[egin{bmatrix} 0 \ 0 \ end{bmatrix}=1, egin{bmatrix} n \ 0 \ end{bmatrix}=0(n>0) ]

递推考虑加入的元素要不重新成一个排列，要不放在已有的任一个元素后。

性质

[(n-1)!=egin{bmatrix} n \ 1 \ end{bmatrix} ]

圆排列性质

[n!=sum_{i=0}^{n}egin{bmatrix} n \ i \ end{bmatrix} ]

置换与圆排列关系

[egin{bmatrix} n \ 2 \ end{bmatrix}=(n-1)!cdot sum_{i=1}^{n-1}frac{1}{i} ]

[egin{bmatrix} n \ n-1 \ end{bmatrix}=egin{pmatrix} n \ 2 \ end{pmatrix} ]

[egin{bmatrix} n \ n-2 \ end{bmatrix}=2egin{pmatrix} n \ 3 \ end{pmatrix}+3egin{pmatrix} n \ 4 \ end{pmatrix} ]

一些其他的性质

[x^{overline{n}}=sum_{i=0}^{n} egin{bmatrix} n \ i \ end{bmatrix} x^{i} ]

[x^{underline{n}}=sum_{i=0}^{n}egin{bmatrix} n \ i \ end{bmatrix}(-1)^{n-i}x^i ]

两个与上升幂与下降幂有关的性质。

上述性质大多可以用数学归纳法证明，限于篇幅，不给出具体证明。

求解第一类(Stirling)数

我们有(O(nlog^2n))的分治(NTT)做法

[sum_{i=0}^{n}egin{bmatrix} n \ i \ end{bmatrix}x^i=prod_{i=0}^{n-1}(x+i) ]

记生成函数为(f_n=prod_{i=0}^{n-1}(x+i))，可以得到：

[f_n=(x+n-1)f_{n-1}=xf_{n-1}+(n-1)f_{n-1} ]

这个和第一类(Stirling)数的递推式等价。

一道经典例题

求长度为(n)的排列中从左边能看到(A)个且从右边能看到(B)个的数量。（能看到即为前缀/后缀最大值）

按最高的楼分为两部分，左边有(A-1)个，右边有(B-1)个要被看见，这(A+B-2)个都要放在靠边的位置，所以方案数是圆排列（固定了一个为第一个），即(egin{bmatrix} n-1 \ A+B-2 \ end{bmatrix})。

然后选(A-1)个放左边，总方案数为(egin{bmatrix} n-1 \ A+B-2 \ end{bmatrix}cdot egin{pmatrix} A+B-2 \ A-1 \ end{pmatrix})。

一个双倍经验题

和上题除数据范围外都一致，用分治(NTT)的方式求第一类(Stirling)数即可。

给出后面一题的代码

//by OIerC
//Forca Barcelona!
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define rep(i, a, b) for (register int i=(a); i<=(b); ++i)
#define per(i, a, b) for (register int i=(a); i>=(b); --i)
using namespace std;
const int N=400005, P=998244353, G=3;
inline int add(int x, int y){return x+y>=P?x+y-P:x+y;}
inline int sub(int x, int y){return x-y<0?x-y+P:x-y;}
inline int mul(int x, int y){return 1ll*x*y-1ll*x*y/P*P;}
int S[20][N], rev[N], n, A, B;

inline int read()
{
 	int x=0,f=1;char ch=getchar();
    for (;ch<'0'||ch>'9';ch=getchar()) if (ch=='-') f=-1;
    for (;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar()) x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';
    return x*f;
}

int Pow(int x, int t)
{
    int res=1;
    for (; t; t>>=1, x=mul(x, x)) if (t&1) res=mul(res, x);
    return res;
}

int C(int n, int m)
{
    int ans=1;
    rep(i, n-m+1, n) ans=mul(ans, i);
    rep(i, 1, m) ans=mul(ans, Pow(i, P-2));
    return ans;
}

void NTT(int *a, int n, int x)
{
    for (int i=0; i<n; i++) if (i<rev[i]) swap(a[i], a[rev[i]]);
    for (int mid=1, len=2; mid<n; mid<<=1, len<<=1)
    {
        int Gn=Pow(G, (P-1)/len);
        for (int i=0; i<n; i+=len)
        {
            int Gen=1;
            for (int j=0; j<mid; j++, Gen=mul(Gen, Gn))
            {
                int A1=a[i+j], A2=mul(Gen, a[i+j+mid]);
                a[i+j]=add(A1, A2); a[i+j+mid]=sub(A1, A2);
            }
        }
    }
    if (!~x)
    {
        reverse(a+1, a+n);
        int inv=Pow(n, P-2);
        for (int i=0; i<n; i++) a[i]=mul(a[i], inv);
    }
}

void solve(int l, int r, int deg)
{
    if (l==r) {S[deg][0]=l; S[deg][1]=1; return;}
    int mid=l+r>>1, lim=1, cnt=0;
    while (lim<=r-l+1) lim<<=1, cnt++;
    solve(l, mid, deg+1);
    rep(i, 0, mid-l+1) S[deg][i]=S[deg+1][i];
    solve(mid+1, r, deg+1);
    rep(i, mid-l+2, lim) S[deg][i]=0;
    rep(i, r-mid+1, lim) S[deg+1][i]=0;
    rep(i, 0, lim-1) rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(cnt-1));
    NTT(S[deg], lim, 1); NTT(S[deg+1], lim, 1);
    rep(i, 0, lim-1) S[deg][i]=mul(S[deg][i], S[deg+1][i]);
    NTT(S[deg], lim, -1);
}

int main()
{
    n=read(); A=read(); B=read();
    if (n-1<A+B-2 || !A || !B) {puts("0"); return 0;}
        else if (n==1) {puts("1"); return 0;}
    solve(0, n-2, 0);
    printf("%d
", mul(C(A+B-2, A-1), S[0][A+B-2]));
    return 0;
}

第二类(Stirling)数

(egin{Bmatrix} n \ m \ end{Bmatrix})表示(n)个元素放入(m)个无差别盒子且每个盒子非空的方案数。

[egin{Bmatrix} n \ m \ end{Bmatrix}=egin{Bmatrix} n-1 \ m-1 \ end{Bmatrix}+megin{Bmatrix} n-1 \ m \ end{Bmatrix} ]

[egin{Bmatrix} 0 \ 0 \ end{Bmatrix}=1 ]

性质

[egin{Bmatrix} n \ m \ end{Bmatrix}=frac{1}{m !} sum_{i=0}^{m}(-1)^{i} left( egin{array}{c}{m} \ {i}end{array} ight)(m-i)^{n} ]

右边( imes m!)后变为有序。

容斥，选(i)个盒子为空，剩下(n)个球乱放(m-i)个盒子为((m-i)^n)。

[n^{m}=sum_{i=0}^{n} egin{Bmatrix} m \ i \ end{Bmatrix} * A_n^i ]

枚举非空盒子个数(i)，(egin{Bmatrix} m \ i \ end{Bmatrix})为球放入方案，排列为选盒子方案。

[egin{align} egin{Bmatrix} n \ m \ end{Bmatrix}& = frac{1}{m !} sum_{i=0}^{m}(-1)^{i} left( egin{array}{c}{m} \ {i}end{array} ight)(m-i)^{n}\ & = sum_{i=0}^{n}frac{(-1)^i(n-i)^n}{i!(m-i)!}\ end{align} ]

卷积形式，(FFT)即可。时间复杂度(O(nlogn))

例题

(HEOI2016/TJOI2016) 求和

[egin{align} f(n) &=sum_{i=0}^{n}sum_{j=0}^{i}egin{Bmatrix} i \ j \ end{Bmatrix}2^j imes j!\ & =sum_{j=0}^{n}2^j imes j!sum_{i=0}^{n}egin{Bmatrix} i \ j \ end{Bmatrix}\ & = sum_{j=0}^{n}2^j imes j!sum_{i=0}^{n}sum_{k=0}^{j}frac{(-1)^k(j-k)^i}{k!(i-k)!}\ &=sum_{j=0}^{n}2^j imes j!sum_{k=0}^{j}frac{(-1)^k}{k!}frac{sum_{i=0}^{n}(j-k)^i}{(i-k)!} end{align} ]

(a_i=frac{(-1)^i}{i},b_i=frac{sum_{j=0}^{n}i^j}{i!})，(a_i)直接求，等比数列求和求(b_i)

卷积，(NTT)即可，时间复杂度(O(nlogn))

//by OIerC
//Forca Barcelona!
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define rep(i, a, b) for (register int i=(a); i<=(b); ++i)
#define per(i, a, b) for (register int i=(a); i>=(b); --i)
using namespace std;
typedef long long ll;
const int P=998244353, G=3, N=4000005;
inline int add(int x, int y){return x+y>=P?x+y-P:x+y;}
inline int sub(int x, int y){return x-y<0?x-y+P:x-y;}
inline int mul(int x, int y){return 1ll*x*y-1ll*x*y/P*P;}
int f[N], g[N], rev[N], fac[N], ifac[N];

inline int read()
{
	int x=0,f=1;char ch=getchar();
    for (;ch<'0'||ch>'9';ch=getchar()) if (ch=='-') f=-1;
    for (;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar()) x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';
    return x*f;
}

int Pow(int x, int t)
{
    int res=1;
    for (; t; t>>=1, x=mul(x, x)) if (t&1) res=mul(res, x);
    return res;
}

void NTT(int *a, int n, int x)
{
    for (int i=0; i<n; i++) if (i<rev[i]) swap(a[i], a[rev[i]]);
    for (int mid=1, len=2; mid<n; mid<<=1, len<<=1)
    {
        int Gn=Pow(G, (P-1)/len);
        for (int i=0; i<n; i+=len)
        {
            int Gen=1;
            for (int j=0; j<mid; j++, Gen=mul(Gen, Gn))
            {
                int A1=a[i+j], A2=mul(Gen, a[i+j+mid]);
                a[i+j]=add(A1, A2); a[i+j+mid]=sub(A1, A2);
            }
        }
    }
    if (!~x) 
    {
        reverse(a+1, a+n);
        int inv=Pow(n, P-2);
        for (int i=0; i<n; i++) a[i]=mul(a[i], inv);
    }
}

int main()
{
    int n=read(), ans=0; fac[0]=1; 
    rep(i, 1, n) fac[i]=mul(fac[i-1], i);
    ifac[n]=Pow(fac[n], P-2); 
    per(i, n-1, 0) ifac[i]=mul(ifac[i+1], i+1); 
    rep(i, 0, n)
    {
        f[i]=mul(add(i&1?-1:1, P), ifac[i]);
        g[i]=i==1?n+1:mul(mul(sub(Pow(i, n+1), 1), Pow(sub(i, 1), P-2)), ifac[i]);
    }
    int lim=1, cnt=0;
    while (lim<=n<<1) lim<<=1, cnt++;
    rep(i, 0, lim) rev[i]=(rev[i>>1]>>1) | ((i&1)<<(cnt-1));
    NTT(f, lim, 1); NTT(g, lim, 1);
    rep(i, 0, lim) f[i]=mul(f[i], g[i]);
    NTT(f, lim, -1);
    rep(i, 0, n)
        ans=add(ans, mul(mul(Pow(2, i), fac[i]), f[i]));
    printf("%d
", ans);
    return 0;
}

(CF932E Team Work)

[egin{align} Ans&=sum_{i=1}^{n}egin{pmatrix} n \ i \ end{pmatrix}i^k \ &=sum_{i=0}^{n}frac{n!}{(n-i)!}sum_{j=0}^{k}egin{Bmatrix} k \ j \ end{Bmatrix}frac{i!}{(i-j)!}\ &=sum_{i=0}^{n}sum_{j=0}^{k}egin{Bmatrix} k \ j \ end{Bmatrix}frac{n!}{(n-i)!(i-j)!}\ &=sum_{j=0}^{k}egin{Bmatrix} k \ j \ end{Bmatrix}sum_{i=0}^{n}egin{pmatrix} n-j \ n-i \ end{pmatrix}cdot frac{n!}{(n-j)!}\ &=sum_{j=0}^{k}egin{Bmatrix} k \ j \ end{Bmatrix}frac{n!}{(n-j)!}2^{n-j} end{align} ]

直接递推求第二类(Stirling)数即可，时间复杂度(O(k^2))

//by OIerC
//Forca Barcelona!
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define rep(i, a, b) for (register int i=(a); i<=(b); ++i)
#define per(i, a, b) for (register int i=(a); i>=(b); --i)
using namespace std;
const int N=5005, P=1000000007;
inline int add(int x, int y){return x+y>=P?x+y-P:x+y;}
inline int sub(int x, int y){return x-y<0?x-y+P:x-y;}
inline int mul(int x, int y){return 1ll*x*y-1ll*x*y/P*P;}
int S[N][N];

inline int read()
{
	int x=0,f=1;char ch=getchar();
    for (;ch<'0'||ch>'9';ch=getchar()) if (ch=='-') f=-1;
    for (;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar()) x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';
    return x*f;
}

int Pow(int x, int t)
{
    int res=1;
    for (; t; t>>=1, x=mul(x, x)) if (t&1) res=mul(res, x);
    return res;
}

int main()
{
    int n=read(), k=read(); S[0][0]=1;
    rep(i, 1, k) rep(j, 1, k) S[i][j]=add(S[i-1][j-1], mul(S[i-1][j], j));
    int bin=Pow(2, n), inv_2=Pow(2, P-2), down=1, ans=0;
    rep(i, 0, min(n, k))
    {
        ans=add(ans, mul(S[k][i], mul(bin, down)));
        bin=mul(bin, inv_2); down=mul(down, n-i);
    }
    printf("%d
", ans);
    return 0;
}

(CF961G Partitions)

留给读者自行完成

别人的题解