线性筛积性函数

积性函数

若定义域为全体正整数的函数(f(x))满足(forall gcd(n,m)=1,f(nm)=f(n)f(m))，则称函数(f(x))为积性函数。

常见的积性函数有(epsilon(n), varphi(n), mu(n), sigma_{k}(n), id_k(n))等。

若(f(n), g(n))都是积性函数，则(f(x^p), f^p(x), f(x)g(x), (f*g)(n))也是积性函数。

线性筛积性函数

线性筛可以在(O(n))的时间复杂度筛出(f(x))，当且仅当(f(x))满足：可以(O(1))求出(f(1),f(p),f(p^k))的函数值。

首先复习一下线性筛素数的代码：

int pri[N], tot, vis[N];

void sieve(int n)
{
    for (int i = 2; i <= n; ++i)
    {
        if (!vis[i]) 
        {
            pri[++tot] = i;
            //1
        }
	for (int j = 1; j <= tot && pri[j] * i <= n; ++j)
	{
	    vis[pri[j] * i] = 1;
            //2
	    if (i % pri[j] == 0) break;
	}
    }
}

显然我们需要在代码中的(1、2)处求(f(x))的值。

(1)处(i)为素数，(f(x))可以(O(1))求出。

(2)处复杂一点，其实是要求出(f(pri_j*i))的值。

注意到：设(i=prod_{i=1}^{k}p_i^{alpha_i})，则(pri_jleq p_1)。因为(pri_j=p_1)后就会(break)。

若(pri_j<p_1)，则(f(pri_j*i)=f(pri_j)f(i))。

若(pri_j=p_1)，设(low_i=p_1^{alpha_1})（就是上面唯一分解(i)中的第一项），(f(pri_j*i)=f(frac{i}{low_i})f(low_i*pri_j))

有一个例外，当(low_i=i)时，(f(pri_j*i)=f(p_k))，可以(O(1))求出。

细节见代码

void Sieve(int N)
{
    f[1] = ...;//求f(1)
    low[1] = 1;
    
    for (int i = 2; i <= N; ++i)
    {
	if (!vis[i]) 
	{
	    low[i] = pri[++tot] = i;
	    f[i] = ...;//求f(p)
	}
	for (int j = 1; j <= tot && pri[j] * i <= N; ++j)
	{
	    vis[pri[j] * i] = 1;
	    if (i % pri[j] == 0)
	    {
		low[pri[j] * i] = low[i] * pri[j];
		
		if (low[i] == i)
		    f[pri[j] * i] = ...;//求f(p^k)(一般由f(p^(k-1))推出)
		else
		    f[pri[j] * i] = f[i / low[i]] * f[low[i] * pri[j]];
		break; 
	    }
			
            low[pri[j] * i] = pri[j];
	    f[pri[j] * i] = f[i] * f[pri[j]];
        }
    }
}

例题

( m{SPOJ} 5971 m{LCMSUM})

这是一道推柿子题，不过推柿子的过程不是本文重点，仅讨论最后得到结果的求法。

结论是：

[sum_{i=1}^{n}lcm(i,n)=frac{1}{2}n(sum_{d|n}dcdotvarphi(d) + 1) ]

设(f(n)=sum_{d|n}dcdotvarphi(d))，不难证(f(n))为积性函数。

[egin{align} f(n)f(m) & = sum_{d|n}dcdotvarphi(d)sum_{d'|m}d'cdotvarphi(d') \ & = sum_{dd'|nm}dd'cdotvarphi(d)varphi(d')\ & = sum_{dd'|nm}dd'cdotvarphi(dd') \ & = f(nm) end{align} ]

线性筛预处理(f(n))即可，时间复杂度(O(n+T))。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define int long long

inline int read()
{
	int x = 0, f = 1; char ch = getchar();
	for (; ch < '0' || ch > '9'; ch = getchar()) if (ch == '-') f = -1;
	for (; ch >= '0' && ch <= '9'; ch = getchar()) x = (x << 1) + (x << 3) + ch - '0';
	return x * f;
}

const int N = 1e6 + 5;
int p[N], tot, f[N], low[N]; //f_n = sum_{d | n} phi_d * d;
bool vis[N];

void Sieve()
{
	f[1] = 1;
	low[1] = 1;
	
	for (int i = 2; i < N; ++i)
	{
		if (!vis[i]) 
		{
			low[i] = p[++tot] = i;
			f[i] = i * (i - 1) + 1;
		}
		for (int j = 1; j <= tot && p[j] * i < N; ++j)
		{
			vis[p[j] * i] = 1;
			if (i % p[j] == 0)
			{
				low[p[j] * i] = low[i] * p[j];
				
				if (low[i] == i)
					f[p[j] * i] = f[i] + p[j] * i * i * (p[j] - 1);
				else
					f[p[j] * i] = f[i / low[i]] * f[low[i] * p[j]];
				break; 
			}
			
			low[p[j] * i] = p[j];
			f[p[j] * i] = f[i] * f[p[j]];
		}
	}
}

signed main()
{
	Sieve();
	
	int T = read();
	while (T--)
	{
		int n = read();
		printf("%lld
", (f[n] + 1) * n / 2);
	}
	return 0;
}