[动态规划]Codeforces 1453F Even Harder

题目大意

给定数组 (a)，(a_i)​ 表示从 (i) 能走到 ([i+1,i+a_i])，问至少需要把几个 (a_i)​ 改成 (0)，才能使得 (1) 到 (n) 有且仅有一条路径。(n leq 3000)。

题解

这题的难度不至于2700吧...

首先容易想到我们可以设 (dp[i]) 表示使得从 (1) 到 (i) 有且仅有一条路径至少需要置0的数量，那么 (dp[i]) 肯定是从 (dp[j](1leq j< i)) 转移过来的，并且对于所有的 (kin[j+1,i))，(a[k]+k<i)，不然就无法满足从 (j) 到 (i) 只有一条路径，我们可以先从 (j) 跳到 (k)，再从 (k) 跳到 (i)。

然后发现这样设有点问题，我们是从上一个状态 (j) 跳到 (i)，设 (j) 的上一个状态是 (k)，我们转移时只保证了从 (k) 跳到 (j) 只有一条路径，并且 (k) 与 (j) 之间的位置无法跳到 (j)，但是若 (k) 能直接跳到 (i)，那么从 (1) 跳到 (i) 就不止一种方案：先跳到 (k)，再跳到 (j)，再跳到 (i);先跳到 (k)，再直接跳到 (j)。我们必须想办法保留下这个信息。所以我们设 (dp[i][j]) 表示从 (1) 跳到 (i) 只有一条路径，并且从转移到 (i) 的上一个位置最远能越过 (i) 跳到 (j)，最少需置0的数量，那么有 (dp[i][j+a[j]]=min(dp[i][j+a[j]],dp[j][k]+cnt),(jin[1,i-1],kin[j,n]))，其中 (cnt=sum_{p=j+1}^{i-1}[p+a[p]>i])。我们只需让 (j) 从 (i-1) 到 (1) 循环，不断更新 (cnt)，同时维护后缀最小值 (min{dp[j][k]},kin[j,n])，即可以 (O(n^2)) 的时间复杂度解决此题。

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define RG register int
#define LL long long

template<typename elemType>
inline void Read(elemType& T) {
    elemType X = 0, w = 0; char ch = 0;
    while (!isdigit(ch)) { w |= ch == '-';ch = getchar(); }
    while (isdigit(ch)) X = (X << 3) + (X << 1) + (ch ^ 48), ch = getchar();
    T = (w ? -X : X);
}

int dp[3001][3001], minn[3001][3001], a[3001];
int T, N;

int main() {
    Read(T);
    while (T--) {
        Read(N);
        for (int i = 1;i <= N;++i) {
            Read(a[i]);
            for (int j = 1;j <= N;++j)
                dp[i][j] = minn[i][j] = 0x3f3f3f3f;
        }
        dp[1][1] = 0;
        for (int i = 1;i <= N;++i)
            minn[1][i] = 0;
        for (int i = 2;i <= N;++i) {
            int cnt = 0;
            for (int j = i - 1;j >= 1;--j) {
                if (j + a[j] < i) continue;
                dp[i][j + a[j]] = min(dp[i][j + a[j]], minn[j][i - 1] + cnt);
                ++cnt;
            }
            minn[i][i] = dp[i][i];
            for (int j = i + 1;j <= N;++j)
                minn[i][j] = min(minn[i][j - 1], dp[i][j]);
        }
        printf("%d
", dp[N][N]);
    }
    return 0;
}