题目大意
给定一个(n imes m)的黑白矩阵,设点((i,j))的权值(w_{(i,j)})为包含该点的全白矩阵的个数,求(sum_{i=1}^n sum_{j=1}^m w_{(i,j)})
题解
首先转化问题为全部白色子矩阵的面积和
然后考虑统计答案
我们计算以某点为右下角的矩阵的贡献
易得(Theta(nm^2))的算法:
我们维护每个点向上延伸的高度h[i]
,从每个点往左跑后缀最小值,ans+=((lis+1)*lis)>>1;
考虑优化该算法
首先我们发现后缀最小值跑出来的序列单调不降,这意味着我们可以用单调栈维护该序列
然后我们思考优化答案统计
我们对这个序列进行分治,分成一个单调不降的旧块和一个高度相等的新块
左上角在新块中的矩阵总贡献为(sum_{i=1}^l sum_{j=1}^h ij=frac{l(l+1)h(h+1)}{4})
左上角在旧块中的矩阵总贡献为(S+lsum frac{h(h+1)}{2})
这样我们维护一个(S)的前缀和,一个(frac{h(h+1)}{2})的前缀和,就可以(Theta(1))快速统计了
#include"cstdio"
#include"cstring"
#include"iostream"
#include"algorithm"
using namespace std;
const int MAXN=2005;
int n,m;
char ch[MAXN];
int h[MAXN],stk[MAXN];
long long ans,lis[2][MAXN];
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=n;++i){
scanf("%s",ch+1);stk[0]=1;
for(int j=1;j<=m;++j) h[j]=ch[j]=='.'?h[j]+1:0;
for(int j=1;j<=m;++j){
while(stk[0]>1&&h[stk[stk[0]]]>=h[j]) --stk[0];
stk[++stk[0]]=j;
long long tmp=(long long)h[j]*(h[j]+1)*(j-stk[stk[0]-1])>>1;
lis[0][j]=lis[0][stk[stk[0]-1]]+tmp;
lis[1][j]=lis[1][stk[stk[0]-1]]+lis[0][stk[stk[0]-1]]*(j-stk[stk[0]-1])+(tmp*(j-stk[stk[0]-1]+1)>>1);
ans+=lis[1][j];
}
}printf("%lld
",ans);
return 0;
}