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  • Matrix

    题目大意

    给定一个(n imes m)的黑白矩阵,设点((i,j))的权值(w_{(i,j)})为包含该点的全白矩阵的个数,求(sum_{i=1}^n sum_{j=1}^m w_{(i,j)})

    题解

    首先转化问题为全部白色子矩阵的面积和

    然后考虑统计答案

    我们计算以某点为右下角的矩阵的贡献

    易得(Theta(nm^2))的算法:

    我们维护每个点向上延伸的高度h[i],从每个点往左跑后缀最小值,ans+=((lis+1)*lis)>>1;

    考虑优化该算法

    首先我们发现后缀最小值跑出来的序列单调不降,这意味着我们可以用单调栈维护该序列

    然后我们思考优化答案统计

    我们对这个序列进行分治,分成一个单调不降的旧块和一个高度相等的新块

    左上角在新块中的矩阵总贡献为(sum_{i=1}^l sum_{j=1}^h ij=frac{l(l+1)h(h+1)}{4})

    左上角在旧块中的矩阵总贡献为(S+lsum frac{h(h+1)}{2})

    这样我们维护一个(S)的前缀和,一个(frac{h(h+1)}{2})的前缀和,就可以(Theta(1))快速统计了

    #include"cstdio"
    #include"cstring"
    #include"iostream"
    #include"algorithm"
    using namespace std;
    
    const int MAXN=2005;
    
    int n,m;
    char ch[MAXN];
    int h[MAXN],stk[MAXN];
    long long ans,lis[2][MAXN];
    
    int main()
    {
    	scanf("%d%d",&n,&m);
    	for(int i=1;i<=n;++i){
    		scanf("%s",ch+1);stk[0]=1;
    		for(int j=1;j<=m;++j) h[j]=ch[j]=='.'?h[j]+1:0;
    		for(int j=1;j<=m;++j){
    			while(stk[0]>1&&h[stk[stk[0]]]>=h[j]) --stk[0];
    			stk[++stk[0]]=j;
    			long long tmp=(long long)h[j]*(h[j]+1)*(j-stk[stk[0]-1])>>1;
    			lis[0][j]=lis[0][stk[stk[0]-1]]+tmp;
    			lis[1][j]=lis[1][stk[stk[0]-1]]+lis[0][stk[stk[0]-1]]*(j-stk[stk[0]-1])+(tmp*(j-stk[stk[0]-1]+1)>>1);
    			ans+=lis[1][j];
    		}
    	}printf("%lld
    ",ans);
    	return 0;
    }
    
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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/AH2002/p/10151680.html
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