浅谈标记永久化

浅谈树状数组与线段树：https://www.cnblogs.com/AKMer/p/9946944.html

当我们写树套树以及主席树时，区间操作打标记则会显得十分的麻烦。

比如这题：https://www.cnblogs.com/AKMer/p/9967587.html

所以我们需要一种操作，不下传(lazy)标记的操作，这种操作，被中世纪的巫师称作：

标记永久化

所谓标记永久化就是不下传标记，让标记永远都待在当前节点上。

对于修改操作，假如我们要修改([l,r])，那么我们要把所有包含([l,r])的区间统计的信息都更改为受到标记影响后的，对于所有被([l,r])包含的第一级区间（就是递归时被包含不细分下去）我们就打上标记，更新信息。

为什么要一路修改下来而不是像普通线段树那样一路(updata)上去呢？因为假如用(updata)的话，有可能会被明明被标记影响了，但是由于不是第一级区间所以没有对它进行更改的结点向上更新出错误的信息。

对于询问，我们只需要把从根到我们要询问的区间这一路上所有的标记影响全部累加起来，统计答案再加上去即可。这样子，对于所有的区间，覆盖它的标记都逃不掉。

用区间加区间询问为例，细细品味上面的话加上下面的代码，相信你能学会标记永久化的。

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;

const int maxn=1e5+5;

int n,m;
ll a[maxn];

struct segment_tree {
    ll sum[maxn<<2],add[maxn<<2];

    void updata(int p) {
        sum[p]=sum[p<<1]+sum[p<<1|1];
    }

    void build(int p,int l,int r) {
        if(l==r) {sum[p]=a[l];return;}
        int mid=(l+r)>>1;
        build(p<<1,l,mid);
        build(p<<1|1,mid+1,r);
        updata(p);
    }

    void change(int p,int l,int r,int L,int R,ll v) {
        sum[p]+=v*(R-L+1);
        if(L<=l&&r<=R) {add[p]+=v;return;}
        int mid=(l+r)>>1;
        if(R<=mid)change(p<<1,l,mid,L,R,v);
        else if(L>mid)change(p<<1|1,mid+1,r,L,R,v);
        else change(p<<1,l,mid,L,mid,v),change(p<<1|1,mid+1,r,mid+1,R,v);
    }

    ll query(int p,int l,int r,int L,int R) {
        if(L<=l&&r<=R)return sum[p];
        int mid=(l+r)>>1;ll res=add[p]*(R-L+1);
        if(R<=mid)res+=query(p<<1,l,mid,L,R);
        else if(L>mid)res+=query(p<<1|1,mid+1,r,L,R);
        else res+=query(p<<1,l,mid,L,mid)+query(p<<1|1,mid+1,r,mid+1,R);
        return res;
    }
}T;

int main() {
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%lld",a+i);
    T.build(1,1,n);
    for(int i=1;i<=m;i++) {
        int opt,l,r;ll v;
        scanf("%d%d%d",&opt,&l,&r);
        if(opt==1) {
            scanf("%lld",&v);
            T.change(1,1,n,l,r,v);
        }
        else printf("%lld
",T.query(1,1,n,l,r));
    }
    return 0;
}