题解 P3176 【[HAOI2015]数字串拆分】

水题解……

话说这道题做得我有点懵，感觉完全是按照学长思路来的说

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(first)

首先要搞清楚题目意思，没错，这就是第一步

话说我谷的题面有点小锅，对于(f_4=5land m=2)的(5)种拆分方法应当是

[(4=)1+1+1+1=1+1+2=1+2+1=2+1+1=2+2 ]

没错，题意确实没错，是用(1-m)中的自然数进行数字拆分，并且是数字顺序不同也要算一种的拆分方式，于是可以乖乖考虑(dp)了

会发现，对于一个数字(p)，有

[p=1+(p-1)=2+(p-2)……+m+(p-m) ]

于是可以发现以上的(m)中拆分中，第(i)种拆分贡献的种类数为(f_{p-i})，至于每一种为什么不用把交换位置的情况进行计算，可以手玩例子发现所有方案数已经全部算入，再交换位置算会算重（这就是为什么排列组合总是容易算错的原因吧）

于是有了第一个结论：

[f_p=sum_{i=1}^{m}f_{p-i} ]

这下应该有点思路了——这题考的是矩阵

(second)

接下来看(g)，先给(g_i)换个定义：字符串从第(1)位(dp)到第(i)位的答案，也就是说，我们要求的是(g_n(n=strlen(S)))

由于上面的第一结论，我们发现可以将(f)用矩阵表示

设转移矩阵为(A)，那么(g_i=A^{a_1+a_2+…+a_k}=A^{a_1}* A^{a_2}* …* A^{a_k})（这里的(a_k)就是(1)到(i)拆出来的一个个数）

于是再分配律走一波发现(g_i=sum_{j=0}^{i-1}g_j* A^{S_{(j+1)…i}})，而关于这个东西(A^{S_{(j+1)…i}})，我们可以先预处理好(A_{i,j})表示(jei( ext{也就是}j* 10^i))的转移矩阵，预处理可以通过我们得到的第一个结论进行处理

于是(g_i)也矩阵跑一波(md矩阵)

(third)

核心部分就是上面这些了，最后所求的自然是(g_n)，而(ans)位置((1,m))

剩下细节可以看代码（代码中用的(f)代替的文中的(g)）：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int mod=998244353;

char ch[501];
int n,m;

struct node
{
	int a[6][6];
}f[501],A[501][10],zero;

node operator * (node x,node y)
{
	node tmp=zero;
	for(register int i=1;i<=m;++i)
		for(register int j=1;j<=m;++j)
			for(register int k=1;k<=m;++k)
				(tmp.a[i][j]+=1ll*x.a[i][k]*y.a[k][j]%mod)%=mod;
	return tmp;
}
node operator + (node x,node y)
{
	node tmp=zero;
	for(register int i=1;i<=m;++i)
		for(register int j=1;j<=m;++j)
			tmp.a[i][j]=(x.a[i][j]+y.a[i][j])%mod;
	return tmp;
}

int main()
{
	cin>>ch+1>>m;
	n=strlen(ch+1);
	for(register int i=1;i<=m;++i)
		for(register int j=1;j<=m;++j)
			zero.a[i][j]=0;
	for(register int i=1;i<=m;++i)
		A[0][0].a[i][i]=A[0][1].a[i][m]=1;
	for(register int i=1;i<m;++i)
		A[0][1].a[i+1][i]=1;
	for(register int i=2;i<=9;++i)
		A[0][i]=A[0][i-1]*A[0][1];
	for(register int i=1;i<=n;++i)
	{
		A[i][0]=A[0][0];
		A[i][1]=A[i-1][9]*A[i-1][1];
		for(register int j=2;j<=9;++j)
			A[i][j]=A[i][j-1]*A[i][1];
	}
	f[0].a[1][m]=1;
	for(register int i=1;i<=n;++i)
	{
		node tmp=A[0][ch[i]-'0'];
		for(register int j=i-1;~j;--j)
		{
			f[i]=f[i]+(f[j]*tmp);
			if(j) tmp=A[i-j][ch[j]-'0']*tmp;
		}
	}
	cout<<f[n].a[1][m]<<endl;
	return 0;
}