百练 2757 最长上升子序列

果然，动态规划的无后效性是和阶段的划分有关的。

受前面的影响，涉及到n个元素的这种题目，我第一想法就是找前k个元素的最优解。

但课件里面说了，这是不满足无后效性的：

“求序列的前n个元素的最长上升子序列的长度”是个
子问题，但这样分解子问题，不具有“无后效性”
假设F(n) = x,但可能有多个序列满足F(n) = x。有的
序列的最后一个元素比 an+1小，则加上an+1就能形成更长上
升子序列；有的序列最后一个元素不比an+1小……以后的事
情受如何达到状态n的影响，不符合“无后效性”

确定了阶段的划分，状态转移方程还是很好理解的，代码也十分容易实现。

描述

一个数的序列b_i，当b₁ < b₂ < ... < b_S的时候，我们称这个序列是上升的。对于给定的一个序列(a₁, a₂, ..., a_N)，我们可以得到一些上升的子序列(a_i1, a_i2, ..., a_iK)，这里1 <= i₁ < i₂ < ... < i_K <= N。比如，对于序列(1, 7, 3, 5, 9, 4, 8)，有它的一些上升子序列，如(1, 7), (3, 4, 8)等等。这些子序列中最长的长度是4，比如子序列(1, 3, 5, 8).

你的任务，就是对于给定的序列，求出最长上升子序列的长度。

输入

输入的第一行是序列的长度N (1 <= N <= 1000)。第二行给出序列中的N个整数，这些整数的取值范围都在0到10000。

输出

最长上升子序列的长度。

 两种代码实现，“人人为我，我为人人”，这八个字还是很形象的。

人人为我：

状态i的值Fi由若干个值已知的状态值Fk,Fm,..Fy推出，如求和，取最大值……

//#define LOCAL
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int maxn = 1010;
int dp[maxn];
int a[maxn];

int main(void)
{
    #ifdef LOCAL
        freopen("2757in.txt", "r", stdin);
    #endif

    int i, n, j;
    memset(dp, 0, sizeof(dp));
    dp[1] = 1;
    cin >> n;
    
    for(i = 1; i <= n; ++i)
    {
        scanf("%d", &a[i]);
        dp[i] = 1;    
    }

    for(i = 2; i <= n; ++i)
        for(j = 1; j < i; ++j)
        {
            if(a[j] < a[i])
            {
                dp[i] = max(dp[i], dp[j]+1);
            }
        }

    int ans = 0;
    for(i = 1; i <= n; ++i)
        ans = max(ans, dp[i]);
    printf("%d
", ans);
    
    return 0;
}

我为人人：

状态i的值Fi在被更新（不一定是最终求出）的时候，依据Fi去更新（不一定是最终求出）和状态i相关的其他一些状态的值Fk,Fm,..Fy

//#define LOCAL
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int maxn = 1010;
int dp[maxn];
int a[maxn];

int main(void)
{
    #ifdef LOCAL
        freopen("2757in.txt", "r", stdin);
    #endif

    int i, j, n;
    scanf("%d", &n);
    for(i = 1; i <= n; ++i)
    {
        scanf("%d", &a[i]);
        dp[i] = 1;
    }

    for(i = 1; i < n; ++i)
        for(j = i+1; j <= n; ++j)
        {
            if(a[j] > a[i])
            {
                dp[j] = max(dp[j], dp[i]+1);
            }
        }

    int ans = dp[1];
    for(i = 1; i <= n; ++i)
        ans = max(ans, dp[i]);
    printf("%d
", ans);

    return 0;
}