百练 2755 神奇的口袋

第一种解法是很经典的动态规划，对于值域较小的题目，还可以采用第二种方法，考虑对值域空间-即对容积的可达性进行动态规划。

这道题里面采用第二种解法还会有空间上的优化。

有时把值域作为一种状态不单单是一种解法，还有可能是唯一的解法。如HDU 1574 RP问题

描述

有一个神奇的口袋，总的容积是40，用这个口袋可以变出一些物品，这些物品的总体积必须是40。John现在有n个想要得到的物品，每个物品的体积分别是a₁，a₂……a_n。John可以从这些物品中选择一些，如果选出的物体的总体积是40，那么利用这个神奇的口袋，John就可以得到这些物品。现在的问题是，John有多少种不同的选择物品的方式。

输入

输入的第一行是正整数n (1 <= n <= 20)，表示不同的物品的数目。接下来的n行，每行有一个1到40之间的正整数，分别给出a₁，a₂……a_n的值。

输出

输出不同的选择物品的方式的数目。

动规解法：

人人为我

//#define LOCAL
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;

int dp[45][45];        //dp[i][j]表示前j件物品总体积是i的方案总数
int a[45];

int main(void)
{
    #ifdef LOCAL
        freopen("2755in.txt", "r", stdin);
    #endif

    int n;
    scanf("%d", &n);
    dp[0][0] = 1;

    int i;
    for(i = 1; i <= n; ++i)
    {
        scanf("%d", &a[i]);
        dp[0][i] = 1;
    }
    int j;
    for(i = 1; i <= 40; ++i)
        for(j = 1; j <= n; ++j)
        {
            dp[i][j] = dp[i][j-1];
            if(a[j] <= i)
                dp[i][j] += dp[i-a[j]][j - 1];
        }
    printf("%d
", dp[40][n]);
    return 0;
}

我为人人

其中j从40倒着循环是考虑到，如果从1开始循环会导致重复加和的情况，从而结果错误。

//#define LOCAL
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;

int sum[42];    //sum[i]表示到达体积i的方案总数

int main(void)
{
    #ifdef LOCAL
        freopen("2755in.txt", "r", stdin);
    #endif

    int n, i, j;
    scanf("%d", &n);
    memset(sum, 0, sizeof(sum));
    while(n--)
    {
        int input;
        scanf("%d", &input);
        for(j = 40; j >= 1; --j)
        {
            if(sum[j]>0 && j+input <= 40)
                sum[j+input] += sum[j];
        }
        ++sum[input];
    }
    printf("%d
", sum[40]);
    return 0;
}