UVa 10891 (博弈+DP) Game of Sum

最开始的时候思路就想错了，就不说错误的思路了。

因为这n个数的总和是一定的，所以在取数的时候不是让自己尽可能拿的最多，而是让对方尽量取得最少。

记忆化搜索(时间复杂度O(n³))：

d(i, j)表示原序列中第i个元素到第j个元素构成的子序列，先手取数能够得到的最大值。

sum(i, j) 表示从第i个元素到第j个元素的和

因为要让对手获得最小的分数，所以状态转移方程为：

d(i, j) = sum(i, j) - min{d(枚举所有可能剩给对手的序列), 0(0代表全部取完)}

s数组保存a中前i个元素的和,这样sum(i, j) = s[j] - s[i-1]

#define LOCAL
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int maxn = 100 + 10;
int a[maxn], s[maxn], d[maxn][maxn], vis[maxn][maxn];

int dp(int i, int j)
{
    if(vis[i][j])
        return d[i][j];
    vis[i][j] = 1;
    int m = 0;
    for(int k = i + 1; k <= j; ++k)
        m = min(m, dp(k, j));
    for(int k = j - 1; k >= i; --k)
        m = min(m, dp(i, k));
    d[i][j] = s[j] - s[i-1] - m;
    return d[i][j];
}

int main(void)
{
    #ifdef LOCAL
        freopen("10891in.txt", "r", stdin);
    #endif

    int n;
    while(scanf("%d", &n) == 1 && n)
    {
        s[0] = 0;
        for(int i = 1; i <= n; ++i)
        {
            scanf("%d", &a[i]);
            s[i] = s[i-1] + a[i];
        }
        memset(vis, 0, sizeof(vis));
        printf("%d
", 2*dp(1, n) - s[n]);
    }
    return 0;
}

递推(时间复杂度O(n²))：

令f(i, j) = min{d(i, j), d(i+1, j),,,d(j, j)}

  g(i, j) = min{d(i, j), d(i, j-1),,,d(i, i)}

则状态转移方程可写成：

d(i, j) = min{f(i+1, j), g(i, j-1), 0}

f和g的递推为：

f(i, j) = min{d(i, j), f(i+1, j)}

g(i, j) = min{d(i, j), g(i, j-1)}

//#define LOCAL
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int maxn = 100 + 10;
int a[maxn], s[maxn], d[maxn][maxn], f[maxn][maxn], g[maxn][maxn];

int main(void)
{
    #ifdef LOCAL
        freopen("10891in.txt", "r", stdin);
    #endif

    int n;
    while(scanf("%d", &n) == 1 && n)
    {
        s[0] = 0;
        for(int i = 1; i <= n; ++i)
        {
            scanf("%d", &a[i]);
            s[i] = s[i-1] + a[i];
        }
        for(int i = 1; i <= n; ++i)//边界
            d[i][i] = f[i][i] = g[i][i] = a[i];
        for(int L = 1; L < n; ++L)
            for(int i = 1; i + L <= n; ++i)
            {
                int j = i + L;
                int m = 0;
                m = min(m, f[i+1][j]);
                m = min(m, g[i][j-1]);
                d[i][j] = s[j] - s[i-1] - m;
                //更新f和g
                f[i][j] = min(d[i][j], f[i+1][j]);
                g[i][j] = min(d[i][j], g[i][j-1]);
            }

        printf("%d
", 2*d[1][n] - s[n]);
    }
    return 0;
}