UVa 11440 (欧拉函数) Help Tomisu

题意：

给出N和M，统计区间x ∈ [2, N!]，x满足所有素因子都大于M的x的个数。

分析：

首先将问题转化一下，所有素因子都大于M 等价于 这个数与M!互素

对于k大于M!，k与M!互素等价于 k % M! 与 M!互素

所以我们可以求出φ(M!)(φ为欧拉函数) 然后乘以N! / M!，最后答案再减一(因为是从2开始统计的)

欧拉函数的公式为a

phifac[n] = φ(n!)，我们递推求phifac

当n为合数时，n!和(n-1)!的素因数的集合是一样的，所以phifac[n] = n * phifac[n-1]

当n为素数是，n!中多了一个素因子n，公式中也多了一项(1 - 1/n)，所以phifac[n] = n * (n-1) / n * phifac[n-1] = (n-1) * phifac[n-1]

#include <cstdio>
#include <cmath>

const int maxn = 10000000 + 10;
const int MOD = 100000007;
int phifac[maxn];
bool vis[maxn];

void sieve(int n)
{
    int m = sqrt(n + 0.5);
    for(int i = 2; i <= m; ++i) if(!vis[i])
        for(int j = i*i; j <= n; j += i)
            vis[j] = true;
}

int main()
{
    sieve(10000000);
    phifac[1] = phifac[2] = 1;
    for(int i = 3; i <= 10000000; ++i)
        phifac[i] = (long long) phifac[i-1] * (vis[i] ? i : i-1) % MOD;

    int n, m;
    while(scanf("%d%d", &n, &m) == 2)
    {
        if(n == 0 && m == 0) break;
        int ans = phifac[m];
        for(int i = m+1; i <= n; ++i) ans = (long long)ans * i % MOD;
        printf("%d
", (ans-1+MOD)%MOD);
    }

    return 0;
}